Les fonctions lipschitziennes

jc-marseille

https://les-mathematiques.net/serveur_exos/exercices/44/677/
Je m'acharne depuis quelques jours sur la solution de l'exercice ci-dessus, exercice 1036 dans catégorie fonction numérique d'une variable réelle.
En particulier pour la solution 2 que je ne comprends toujours pas et qui dit

Soient t,t′∈Rt,t′∈R. On a :

φ(t)−φ(t′)=tg(xt)−t′g(xt)+(f(xt)−f(xt′)+t′g(xt′)−t′g(xt))=tg(xt)−t′g(xt)φ(t)−φ(t′)=tg(xt)−t′g(xt)+(f(xt)−f(xt′)+t′g(xt′)−t′g(xt))=tg(xt)−t′g(xt)

et de même

φ(t′)−φ(t)=t′g(xt′)−tg(xt′)

Tout d'abord je pense que ci-dessus, xt représente x indice t. La relation et l'égalité finale me paraissent obscures.
En contre-partie, voici ma solution :
 f et g définies et continues sur [0, 1], donc admettent une borne sup et une borne inf. De plus elles atteignent leurs bornes, donc
 il existe x0 et x1 t.q pour tout x dans [0,1] on a resp. f(x) =< f(x0) et g(x) =< g(x1)
Ainsi, φ(t) = sup x∈[0,1](f(x)+tg(x)) = f(x0) + t*g(x1).
On pose f(x0) = a et g(x1) = b, on a alors pour t et s dans R: |φ(t) - φ(s)| = |b|*|t-s| d'où pour tout k >= b on a bien |φ(t) - φ(s)| =< k*|t-s| et φ est bien lipschitzienne sur R.
Merci de commenter.

gebrane

Es-tu certain que le sup d'une somme est la somme des sup ?
Ajout, on n'a pas besoin que f et g soient continues, il suffit que f et g soient bornées  sur [0,1], (donc les sup existent pour f et g), disons g bornée par M,  car 
$f(x)+tg(x)=f(x)+sg(x)+(t-s)g(x)\leq f(x)+sg(x)+|t-s| M$ d'où 
$\varphi(t)\leq \varphi(s)+ |t-s| M$, donc ...

Dom

Il manque certainement un « $<$ » quelque part. 

Coquille ?

gebrane

Coquille signalé par Dom corrigée

julian

J'ai du mal à lire...