Décimales de $\sqrt{x}$

uvdose

Soit $x$ un entier naturel qui n'est pas un carré parfait ; tous les chiffres apparaissent-ils forcément dans la suite des décimales de $\sqrt{x}$ ?

Quentino37

Je pense que oui, racine de x doit même sûrement être un nombre normal.
Après il faudrait réussir à trouver une preuve simple et astucieuse...

Quentino37

Après recherche on ne sait pas du tout 

Fin de partie

@uvdose: Cela m'étonnerait que dans le développement décimal de la racine carrée d'un entier qui ne soit pas un carré parfait, on ne trouve ni $0$, ni $1$, ni $2$, ni $3$,...,ni $9$. Ce que je veux dire est que tous les chiffres de $0$ à $9$ apparaîtront si on va suffisamment loin dans le développement décimal de cette racine carrée.
NB : mais je ne suis pas capable de le démontrer.

PS.
Cela me donne l'idée d'une suite.

$u_n$ est la suite qui donne le nombre de décimales minimum qu'il faut calculer pour que dans le développement décimal, après la virgule, de $\sqrt{1+n^2}$ apparaissent tous les chiffres de $0$ à $9$

PS2. Par exemple, si je vois bien $u_1=18$.

PS2.
Si $a$ est un entier naturel strictement positif, $a^2+1$ n'est jamais un carré parfait. En effet, s'il existe un entier naturel $b$ tel que $a^2+1=b^2$ cela entraîne $(b+a)(b-a)=1$ mais $b+a>1$.

PS3.
On peut aussi considérer la suite $w_n$ qui donne le nombre minimum de décimales de $\sqrt{n}$ qu'il faut calculer avant et après la virgule pour obtenir tous les chiffres de $0$ à $9$. Si on ne peut pas obtenir tous les chiffres, par exemple si $n=4$, $n=25,...$, on décide que pour ces valeurs $n$ les termes correspondant valent $0$.

Dom

Moi aussi… mais l’intime conviction, dans notre discipline…

Fin de partie

@uvdose pensait sûrement au truc habituel: si on prend un entier naturel $n$ quelconque va-t-il apparaître quand on parcourt la suite des décimales de $\sqrt{x}$ si $x$ est un entier non carré parfait. Mais de nos jours les gens confondent nombres et chiffres.

Quentino37

Fin de partie il voulait sûrement dire toute suite de chiffres !(127463, 1622, ect) 
Après on peut déjà tenter de démontrer pour 1 à 9 
Sinon, sauf erreur, ce qui je pense serait plus simple à étudier pour instant serait la base 2 pour ta suite !

uvdose

@Fdp Non, ça je sais que c'est hors de portée. Par exemple on ne sait toujours pas si $\sqrt{2}$ est un nombre univers.
Ma question se limite à l'apparition de chacun des dix chiffres.

Fin de partie

@uvdose: au moins il n'y a plus d'ambiguïté.

Fin de partie

Regardez le nombre $\displaystyle \{\sqrt{673^2+1}\}$.
NB : $\displaystyle \{\}$ est la partie fractionnaire d'un réel.

PS.
On peut sûrement émettre la conjecture suivante.
Soit $m$ un entier naturel non nul.
Il existe $n$ tel qu'il faut calculer au moins $m$ décimales du nombre $\{\sqrt{n^2+1}\}$ pour qu'on ait tous les chiffres de $0$ à $9$.

Fin de partie

Une fonction pour GP PARI, écrite à l'arrache, qui permet de calculer les termes de la suite $(u_n)$ définie plus haut.

sqd(n)={L=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];<br>for(m=1,200,L[floor(10^m*frac(sqrt(n^2+1)))%10+1]=1;<br>if(prod(k=1,10,L[k])!=0,return(m)));return(0);}

Il faut ne pas oublier de prendre une précision suffisante pour les calculs: \ps 300 S'il faut parcourir plus de $200$ décimales pour obtenir tous les chiffres la fonction renvoie $0$. J'ai un problème de dépassement de capacité avec la fonction floor qui limite mes recherches. Il y a probablement un paramètre de GP PARI à changer mais je ne sais pas lequel, pour pousser les calculs plus loin. J'aimerais trouver un $n$ pour lequel il faut calculer plus de $100$ décimales, un $n$ pour lequel il faut calculer plus de $1000$ décimales.

Fin de partie

Je crois que j'ai réglé mon problème de précision.

Regardez $\displaystyle \{\sqrt{2795^2+1}\}$.

PS.
Tous les $n$ inférieurs à $500000$ ne nécessitent pas de parcourir plus de $999$ décimales pour obtenir tous les chiffres de $0$ à $9$.
PS2.
Il faut faire \p 2000 pour s'assurer qu'on n'aura pas de dépassement de capacité.

uvdose

On a $\sqrt{n^2+1}-n=\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}<\dfrac{1}{2n}$ ; en prenant $n\geqslant5\times10^k$, on voit que les $k+1$ premières décimales (après la virgule) de $\sqrt{n^2+1}$ sont nulles.

Fin de partie

Je cherche toujours le plus petit $n$ entier naturel non nul pour lequel on doit parcourir au moins $1000$ décimales pour obtenir tous les chiffres. Ce nombre est plus grand que 2 millions semble-t-il. J'espère que ce n'est pas proche de la borne donnée par @uvdose.

uvdose

Soit un entier $k\geqslant4$, alors $\left\lfloor10^{11k+7}\sqrt{10^{2k}+1}\right\rfloor=$

$1\underbrace{00\cdots00}_{2k}4\underbrace{99\cdots99}_{2k-1}875\underbrace{00\cdots00}_{2k-2}624\underbrace{99\cdots99}_{2k-3}609375\underbrace{00\cdots00}_{2k-6}2734374\underbrace{99\cdots99}_{2k-7}7944921$

Il faut donc attendre la $(11k+7)-$ième décimale de $\sqrt{10^{2k}+1}$ pour avoir vu chacun des 10 chiffres.

[Utilisateur supprimé]

Si un uvdose a dit :

Soit $x$ un entier naturel qui n'est pas un carré parfait ; tous les chiffres apparaissent-ils forcément dans la suite des décimales de $\sqrt{x}$ ?

On peut déjà tenter de trouver si possible, un nombre irrationnel qui n'aurait qu'un nombre $< 9$ (sans compter les $0$) de chiffres dans son écriture décimale (sans parler de virgule).

uvdose

C'est par exemple le cas de $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}10^{-k^2}$.

Bibix

Ça, c'est plutôt facile. On peut prendre la constante de Liouville $\sum_{k = 1}^{\infty} 10^{-k!}$ qui est transcendante.

Dom

On cherche donc à démontrer que si un nombre non décimal contient une infinité de chaque chiffre dans son écriture décimale, alors son carré est non décimal. 

Vais-je trop vite ?

[Utilisateur supprimé]

Ok et on peut mettre en bijection les $2$ ensembles $E_n$ et $E_p$ des nombres qui contiennent moins de $p < n \leq 9$ chiffres dans leurs occurrences ? Ça ne fait pas avancer la recherche d'une réponse ?

Dom

Avec des changements de base peut-être ?

[Utilisateur supprimé]

Dom a dit :

On cherche donc à démontrer que si un nombre non décimal contient une infinité de chaque chiffre dans son écriture décimale, alors son carré est non décimal. 

Vais-je trop vite ?

Ha oui ça je comprends bien.
Est-ce que le carré d'un tel non décimal est non décimal, c'est bien ça ?

Fin de partie

@turboLanding un nombre réel n'est pas nécessairement un nombre décimal. Un nombre décimal est un nombre réel qui a une écriture décimale finie. (un nombre décimal est un nombre rationnel, mais tous les nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux)

[Utilisateur supprimé]

Je comprends bien mais en fait, je ne connais pas de théorèmes importants sur ces non-décimaux, pour comprendre un peu « leur structure ».

Donc je ne comprends pas trop comment appréhender pour moi ou pour vous, cette question. Vu que ça n'apparait pas dans vos réponses, c'est qu'il n'y en a pas beaucoup ou qu'ils sont trop éloignés pour être utilisables ici.

[Utilisateur supprimé]

Fin de partie a dit :

@turboLanding un nombre réel n'est pas nécessairement un nombre décimal. Un nombre décimal est un nombre réel qui a une écriture décimale finie. (un nombre décimal est un nombre rationnel, mais tous les nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux)

Oui toutes les extensions infinies d'ensembles finis ne sont pas forcément des « opérations stable ».

Dom

J’ai même dit un truc redondant : (je retire ce qui est en gras)
« si un nombre non décimal contient une infinité de chaque chiffre dans son écriture décimale, alors son carré est non décimal »
Je modifie en :  
« si un nombre contient une infinité de chaque chiffre dans son écriture décimale, alors son carré est non décimal »

Cela dit, l’assertion de départ était moins gourmande. 

Elle parlait de rencontrer au moins chaque chiffre une fois. Ça donne : « si un nombre non décimal (cette fois-ci c’est nécessaire) contient au moins une fois chaque chiffre dans son écriture décimale, alors son carré est non décimal ». 
$\sqrt{2}$ dit que non. 

En fait je m’embrouille ce soir… tout seul comme un grand… (sans quantifier… c’est fichu !)

Bon, peut-on attaquer ce problème naïvement ?
soit un tel nombre $r$ non décimal et qui contient au moins une fois chaque chiffre. On note $r=r_0,r_1r_2…r_k…$ son écriture décimale. 

A-t-on des informations sur $r^2$ ?

Boécien

Peut-être moins ambitieux. Quels sont les entiers $n$ tels qu'il existe au moins un $k<n$ tel que le développement décimal de $k/n$ contienne tous les chiffres de  à $0$ à $9$. Par exemple $n=19$ marche car $1/19=0.052631578947368421...$

Peut-on par exemple conjecturer que si $p$ est un nombre premier avec une "longue période" (ie la période du développement décimal de $1/p$ a une longueur de $p-1$) (cf suite A006883) alors le développement décimal de $1/p$ contient tous les chiffres pour $p>7$?

noradan

une question pour uvdose 
Comment obtiens tu ton résultat concernant

$10^{11k+7}\sqrt{10^{2k}+1}$ ?

Parce qu'il est quand même marrant !

Fin de partie

@turboLanding: l'ensemble des nombres décimaux est muni naturellement d'une structure d'anneau.

uvdose

@noradan J'utilise le développement en série, valable pour $x\in[-1\,;1]$,
$\displaystyle\sqrt{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{\binom{2n}{n}}{(2n-1)2^{2n}}x^n$, avec $x=10^{-2k}$.

Alain24

Dans les vieux livres on trouve un algorithme qui calcule les décimales de $\sqrt{x}$ basé sur l'identité

$(a_0+\dots+a_n)^2=\sum_i a_i^2+2\sum_{i<j}a_i a_j$ et qui ressemble à un algo de division euclidienne, il "suffit" de montrer que la suite $10^i a_i$ parcourt tous les chiffres. Il est de plus possible que cette propriété ne dépende pas de la base de numération.

lourrran

Calculer les racines à la main (un peu comme la division euclidienne), c'est effectivement un truc que j'ai appris au lycée.

Fin de partie

@Lourrran: Cela ne remplace pas les méthodes type Héron. On considère la suite définie par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\dfrac{A}{u_n}\right)$ On prend comme premier terme une valeur approchée de $\sqrt{A}$, $A>0$ et cette suite tend rapidement vers cette racine carrée.

Alain24

La méthode d'extraction "euclidienne" est numériquement inefficace, par contre l'outil théorique qu'elle utilise peut être plus adapté pour répondre à la question posée.

lourrran

Numériquement, si je veux les 30 premières décimales de $\sqrt{335}$ et que j'ai juste une grande feuille et un stylo, la méthode du Héron me prendra combien de temps ?  (et combien de feuilles format A4 ?)
Chaque décimale de plus va me demander une division $\frac{A}{u_n}$ de plus, puis une addition et une division par $2$.

La méthode type 'pseudo-division' prendra en tout 1 feuille.

Mais dans les faits, c'est globalement la méthode Héron qui est appliquée dans la pseudo-division.
Sauf erreur, on peut écrire l'algorithme de cette pseudo division ainsi : 
$u_{n+1}=u_n + [ \frac{  A- u_n^2}{2 u_n}  ]_n$

la suite $u_n$ étant forcément croissante, et chaque étape de cette suite me donnant exactement une nouvelle décimale, ni plus, ni moins.

la notation $[x]_n$ étant donc l'arrondi inférieur de $x$, avec $n$ décimales.

Math Coss

Il faut quatre itérations à partir de la valeur approchée $18$. Voici les approximations successives (non, évidemment, je ne les ai pas calculées à la main).

18.305555555555555555555555555556
18.303005395380205698870342269432
18.303005217723127545413366544652
18.303005217723126683204209016208

lourrran

Donc 4 fois plus de papier que dans l'autre méthode.

Remontons au 17ème ou 18ème siècle, on veut calculer une racine carrée avec plein de décimales. Le papier est une ressource rare et chère, mais indispensable pour poser des calculs. Dans ce contexte, la 'pseudo-division' est intéressante.

La méthode de Héron est connue depuis très longtemps, la méthode de pseudo-division a été enseignée (et utilisée ?) en alternative à la méthode de Héron, c'est la méthode préconisée il y a 1 siècle pour extraire une racine carrée ; il doit bien y avoir une raison, ce n'est pas par sadisme.  

cf ce lien  http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/r_carree_anc.htm   avec entre autres un extrait d'un manuel pour les enfants de 11 à 13 ans, où on explique comment extraire une racine carrée, avec cette méthode.  Et dans la foulée, la racine cubique, la logique est la même.

depasse

Bonjour

Pour toute base $b$, les propositions suivantes sont équivalentes:
P1: Quel que soit $x$ naturel non carré, tout chiffre admet une occurrence dans l'écriture de $\{ \sqrt x\}$.
P2: Quel que soit $x$ naturel non carré, tout chiffre admet une infinité d'occurrences dans l'écriture de $\{ \sqrt x\}$.
D'accord?
Cordialement
Paul

Math Coss

Peut-être mais pourquoi ? 
Pour revenir sur l'algorithme de division, il me semble qu'il est un peu plus pénible à la main que la division euclidienne mais c'est peut-être seulement une question de pratique.
Surtout, pour celui de Héron, une remarque simple permet de réduire les calculs. Dans l'idée, à la $k$-ième étape, comme on n'espère pas plus de $2^k$ chiffres corrects, il n'est pas utile de pousser les calculs jusqu'à 30 décimales. Cela permet de manipuler des nombres de taille croissante plutôt que faire des divisions avec 30 décimales à chaque fois. Il faudrait préciser, quantifier et mettre en place...

lourrran

On juge avec nos habitudes d'aujourd'hui. Pour les plus de 40 ou 50 ans, on a beaucoup pratiqué la division euclidienne et jamais la pseudo-division pour les extractions de racines carrées. Dans ce contexte toute solution de contournement à base de divisions euclidiennes est plus performante.
Apparemment, il y a un siècle, on enseignait l'extraction de racine carrée aux enfants de 11 ans. Surprenant, mais partons de cette hypothèse. Les enfants qui apprenaient ça pouvaient faire une série d'exercices, et acquérir une maitrise suffisante pour que la technique soit performante.

Je pense que si on enseignait ça, ce n'était pas pour un plaisir théorique, c'était concret, c'était un truc que certains pouvaient utiliser de manière plus ou moins courante.
Ce ne sont que des hypothèses, j'essaie de trouver une cohérence dans les informations dont on dispose.

depasse

Je tente de me justifier en base dix (il me semble que ça ne dépend pas de la base):
Soit $x$ naturel non carré tel que le chiffre $c$ apparaît un nombre fini de fois dans $\{\sqrt x \}$. Soit $d$ le rang de sa dernière occurrence. Alors  $c$ n'est pas une décimale de $\{\sqrt {10^{2d}x }\}$.