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Factorisation de polynôme sans racine évidente

Bonsoir tout le monde !

   s’il vous plait j’ai besoin d’une factorisation d’un polynôme de degré 4 à coefficients réels ; j’ai pas trouvé une racine évidente , est ce qu’il faut que je passe à C si oui comment ?
Mon polynôme est le suivant -X^4+2X^2-4X+1

Merci d’avance

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Réponses

  • Une méthode possible, la plus classique (bourrine) : on écrit le polynome de degrés 4 comme facteur de 2 polynomes de degrés 2 :

    $P(x)=-x^4+2x^2-4x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$
    Ensuite, on développe, on regroupe les termes de même puissance, on identifie les coefficients des termes de même puissance, et on a un système à résoudre.

    Ici, comme exemple, on se retrouve avec un système à 6 inconnues et 5 équations mais, si $(a, b, c, d, e, f)=(a_0, b_0, c_0, d_0, e_0, f_0)$ est solution, alors $(\frac{a_0}{y}, \frac{b_0}{y}, \frac{c_0}{y}, y\ d_0, y\ e_0, y\ f_0)$ est aussi solution, donc on peut fixer une valeur, ici le plus naturel est de rajouter $a=1$ (ou $-1$).

    Ensuite, on sait comment traiter la factorisation de polynomes de degré $2$.

    PS : avec l'habitude, par exemple, on voit que $P$ n'a pas de termes en $x^3$, et donc qu'on peut donc écrire directement que $b=-e$, ce qui permet de diminuer le nombre d'inconnues.
  • Pour éviter de gérer trop d'inconnues, on peut toujours appliquer la méthode de Ferrari, qui permet de résoudre les équations du 4ème degré (mais malgré son nom, elle est longue à appliquer). Elle va faire apparaître un produit de deux polynômes du second degré (comme celle de turboLanding), en choisissant un paramètre comme solution d'une équation de degré $3$, qui se résout par la méthode de Cardan.
  • Par contre, le système n'est pas simple à résoudre, vu les racines : https://www.wolframalpha.com/input?i=-X^4+2X^2-4X+1

    Il n'y aurait pas une erreur dans l'énoncé ?
  • Bonjour,

    Les racines sont approximativement:
    $-2.0474774221278364194261786884464$
    $0.2903837919008775910881004171585$
    $0.87854681511347941416903913564397 - 0.95398520780305052710635616983844i$-
    $0.87854681511347941416903913564397 + 0.95398520780305052710635616983844i$
    Et il n'y a pas de factorisation sur $\mathbb{Q}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonjour

    le plus simple est de faire un tableau des variations de la fonction  f définie par

    $f(x) = - x^4 + 2x^2 - 4x + 1$

    dont la dérivée est $f'(x) = - 4 (x^3 - x + 1)$

    et de dérivée seconde $f''(x) = - 4 (3x^2 - 1)$ qui s'annule pour $x = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ et $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

    l'image de 0 par f'(x) est négative (soit - 4) et 
    le maximum local de f'(x) pour $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ est aussi négatif  avec une limite pour +oo égale à - oo

    tu constates sur le tableau des variations de f ' dérivée de f  qu'elle ne s'annule que pour une seule valeur a négative de la variable x

    tu peux encadrer facilement cette racine    - 2 < a < - 1, tu en déduis que f admet un maximum f(a) 

    or f(-2) = 1 et  f(-1) = 6 ; les limites de f en l'infini sont - oo donc f s'annule pour 2 valeurs $\alpha$ et $\beta$ de la variable x

    valeurs que tu encadres : $- 3 < \alpha < - 2$  et d'autre part   $ 0,3 < \beta < 0,5 $

    les deux racines de f(x) = 0 sont non-entières, tu peux les calculer précisément par les suites :

    $u_{n+1} = - (2u^2_n- 4u_n +1)^{0,25}$ avec $u_0=-3$ pour la première $\alpha$ et la même suite affectée du signe moins pour la seconde

    Cordialement
  • Les racines ne sont pas compliquées à trouver même exactement, dans la mesure où la méthode de Ferrari est absolument automatique, elle est juste affreusement longue (personnellement, je ne sais plus faire, je me limite au degré $3$).

    Si en revanche c'est issu d'un exercice, je penche aussi pour l'erreur d'énoncé.

    Enfin, j'ai tendance à penser que dans beaucoup de situations, des valeurs approchées suffisent, et effectivement alors la mise en oeuvre d'une méthode numérique est suffisant et "simple" (au moins pour les racines réelles)
  • Modifié (November 2022)
    (note : je n'ai pas dit que les racines étaient compliquées à trouver)

  • Si ce n'est pas compliqué,  C’est juste difficile !

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    Citation :  Je suis Jack 
  • Disons un peu pénible ... Dans une autre vie, j'ai su faire, et j'étais plutôt dans ma période jeune étudiant.
  • Modifié (November 2022)
    Bonjour  @math2 ,  pourquoi ne pas proposer cette question à  tes étudiants . Moi aussi j'ai la grande flemme 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • En cherchant les racines exactes avec wolfram ( cliquer sur la case exact forms) , je ne pense pas qu'un humain puisse faire ce calcul.
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (November 2022)
    Ok, pour me rendre compte, je l'ai fait en suivant wikipédia.
    Ça m'a pris montre en main moins de 10 minutes, sachant que j'avais complètement oublié la méthode, mais que je connais celle à l'ordre $3$.
    Du coup je n'ai pas apporté de soin à mes calculs (je l'ai juste fait pour vérifier l'aspect faisable), les valeurs sont donc à prendre avec des pincettes.
    Je pose (issu de la méthode de Cardan) :
    $$\lambda=\left(\frac{34}{27}+\sqrt{\frac{44}{27}}\right)^{1/3}+\left(\frac{34}{27}-\sqrt{\frac{44}{27}}\right)^{1/3}-\frac13$$
    puis
    $a=2(\lambda+1)$ et $b=-\frac{1}{\lambda+1}$. Les quatre racines sont données par les expressions suivantes, avec $\sigma_1,\sigma_2\in \{-1,1\}$ :
    $$\frac{-\sigma_1 a+2\sigma_2\sqrt{(\lambda-1)^2-\frac{4\sigma_1}{\lambda+1}}}{2}$$
    (j'ai écrit des racines carrées et des puissances $1/3$ comme si tout était défini, prendre dans le premier cas une racine complexe si besoin et dans le deuxième cas la racine cubique du réel).
  • Bravo si tu trouves comme wolfram les deux racines réelles 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Je me suis sans doute planté dans les calculs posés à la main (mon 44 par exemple ...), mais la forme ressemble je crois. Enfin, en tout cas c'est faisable en prenant son temps, c'est moins long que de calculer un déterminant 4x4 général 
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