Continuité du flot d'une EDP

Niser

Bonsoir,
C'est peut-être une question extrêmement élémentaire, mais je veux quand même être sûr.
Supposons qu'on a une EDP qui est globalement bien posée sur $L^2$, dans le sens où il existe un flot continu sur $\R$ (i.e. $t\in\R $) donné par $$
S(t):u_0\in L^2\mapsto u(t)\in L^2\ .
$$
Supposons que quelque soit $u_0\in H^1$ on a que $S(t)u_0$ est uniformément borné dans $H^1$ .
Ma question: Le flot (restreint à $H^1$)
$$
S(t) :  u_0\in H^1\mapsto u(t)\in H^1\
$$
est aussi continu en temps sur $\R $. N'est-ce pas ?
Merci d'avance !