Programmation quadratique
$J(u)=\frac{1}{2}<Au,u>+<b,u>$, avec $A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}$, où $b$ est fixé.
On cherche le minimum de $J$ sur l'ensemble $C=\{(\alpha,1+\alpha), \alpha \in \mathbb{R}\}$.
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}$, où $b$ est fixé.
On cherche le minimum de $J$ sur l'ensemble $C=\{(\alpha,1+\alpha), \alpha \in \mathbb{R}\}$.
Après avoir montré que $J$ est fortement convexe, je trouve qu'il suffit d'inverser $A$ pour avoir le ou les points critiques.
Si $b=(b_1,b_2)$ je trouve une relation qui doit être vérifiée : $b_1-b_2=1$.
Si la condition est vérifiée il y a un minimum.
Si $b=(b_1,b_2)$ je trouve une relation qui doit être vérifiée : $b_1-b_2=1$.
Si la condition est vérifiée il y a un minimum.
Cela vous parait-il correct ?
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Réponses
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J(u)=1/2<Au,u> je comprends... mais à partir de J(u)=<b,u> je ne comprends pas cet énoncé. D'autre part $C$ a un seul élément...alors trouver le minimum d'une fonction sur un ensemble à un seul élément je sais faire... si la fonction est bien définie!
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J'ai corrigé c'est un plus désolé $J(u)=\frac{1}{2}<Au,u>+<b,u>$, et oui je trouve en fonction de $b=(b_1,b_2)$ une solution $(\frac{-b_1+1}{3},1+\frac{-b_1+1}{3})$ avec la condition necessaire $b_1-b_2=1, \ b \in C$
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Attention, un minimum n'est pas forcément un point critique (quand il y a une contrainte). Et inversement, un point critique... . En tout cas, c'est bizarre d'obtenir une condition nécessaire.
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En remplaçant $u$ par $(\alpha,\alpha+1)$, $J(\alpha,\alpha+1)$ est un polynôme de degré $2$ en $\alpha$ de coeff dominant positif, le minimum est le point qui annule la dérivée du polynôme par rapport à $\alpha$ ce qui donne... une valeur fonction de $b_1$ et $b_2$ , mais je ne vois aucune relation entre $b_1$ et $b_2$ apparaître.
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Il n'y a aucune condition sur b?
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Merci pour cette idée que j'applique le polynome en $\alpha$ est $J(\alpha)=3\alpha^2+\alpha (3+b_1+b_2) + 1+b_2$ et donc pas de ondition sur b pour trouver le minimum
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J'ai du faire une erreur en cherchant le gradient de l'expression j'obtient $\nabla J(u^*)=Au^*+b$ qui doit être nul, et comme $u^* \in C$ il doit bien y avoir une condition sur b aussi je ne vois pas mon erreur
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Bibix a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2391369/#Comment_2391369[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
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Oui et $C$ est d'intérieur vide dans $\mathbb{R}^2$, donc il n'y a pas de raison que le minimum soit un point critique de la fonction dans $\mathbb{R}^2$. Mais le gradient de $J|_{C}$ calculé avec la topologie induite sur $C$ s'annule bel et bien en ce minimum.
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Pour ce point $u^*$ dont vous parlez on a donc $\nabla(u^*)=A(u^*)+b=0$ soit $u^*=-A^{-1}(b)$.
ici
$A^-1=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}
2 & -1\\
-1 & 2
\end{pmatrix}$, où $b$ est fixé.
Donc $u^*=\frac{1}{3} (-2b_1+b_2,b_1-2b_2)$ -
Et comme $u^* \in C$ il doit exister une relation entre ses coordonnées et donc entre $b_1$ et $b_2$ ou bien je me trompe (certainement)
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$C$ ne contient pas forcément un point critique. Cela n'arrive que quand ta relation nécessaire est vérifiée. C'est ce que tu as démontré. Mais cela n'a rien à voir avec la question d'origine.
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Ou bien (aussi) partir de l'inégalité d'Euler ?[Leonhard Euler (1707-1783) prend toujours une majuscule. AD]
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