Extrema de fonction de plusieurs variables

brunob31880

Bonjour
Concernant la fonction de 2 variables $$ f(x,y)=x^2y^2+x^2+y^2+2axy. $$
Selon la valeur de $a$ en étudiant les points critiques je trouve que si $a$ est compris entre $-1$ et $1$ inclus le point $(0,0)$ est un minimum local, un point de selle sinon cela vous parait il correct ?

Dom

Je copie et colle ton expression. 

J’ajoute un dollar devant et un dollar derrière. 

$f(x,y)=x^2y^2+x^2+y^2+2axy$

brunob31880

Merci pour ce dollar (qui prends de la valeur par rapport à l'euro)

math2

Pour une étude locale au voisinage de $(0,0)$, le premier terme compte pour du beurre. Le reste donne une forme quadratique, que la réduction de Gauss permet d'écrire sous la forme $(x+ay)^2+(1-a^2)y^2$. Je pense qu'avec cela le comportement local au voisinage de $(0,0)$ s'ensuit.

lourrran

Si on écrit $x= r \cos \theta$ et $y = r \sin \theta$, on a $f(x,y) = r^4 \times \cos^2 \theta \times \sin^2 \theta + r^2  ( 1 + a \times \sin (2 \theta) )$
Ce qui confirme ton résultat.

math2

Il me semble vraiment que si la question se limite à la nature du point critique $(0,0)$, ma proposition est la plus naturelle : le premier terme est un $o(\| (x,y)\|^2)$, le reste est une forme quadratique dont on cherche la signature, la partie principale du DL d'ordre $2$ s'identifiant alors à cette forme. On voit bien avec ce que j'ai écrit qu'alors la question est juste de savoir la position de $1-a^2$ par rapport à $0$ ; selon qu'il soit strictement positif, nul ou strictement négatif, on aura une forme quadratique définie positive, s.d.p. ou définie négative. Le premier cas conclut à un minimum local strict, le dernier à un point selle. Il ne reste qu'à regarder plus précisément le deuxième cas, où l'on aura minimum local ou rien, mais dans ce cas précis on voit que le terme ajouté est toujours positif et donc c'est bien un minimum local.

Au passage, écrire $f$ sous la forme $f(x,y)=x^2y^2+(x+ay)^2+(1-a^2)y^2$, permet de démontrer que lorsque $1-a^2 \geq 0$, $(0,0)$ est toujours un minimum global, le seul cas à regarder est vraiment $1-a^2 < 0$.