Une conjecture :)
Je propose une conjecture sur les nombres premiers (j'avoue ne pas savoir comment la démontrer ou la réfuter ! )
Soit P(x) un polynôme à coefficients réels de degré strictement supérieur à 1 et de coefficient dominant positif et Q(x) un polynôme quelconque, alors il existe un nombre finit d'entiers naturels $n$ tels que la partie entière de $\displaystyle e^{P(n)}+Q(n)$ est un nombre premier.
Soit P(x) un polynôme à coefficients réels de degré strictement supérieur à 1 et de coefficient dominant positif et Q(x) un polynôme quelconque, alors il existe un nombre finit d'entiers naturels $n$ tels que la partie entière de $\displaystyle e^{P(n)}+Q(n)$ est un nombre premier.
Je ne vois pas du tout comment m'y prendre pour démontrer un truc comme ça !
(Merci à Dom d'avoir signalé l'erreur dans la conjecture, le coefficient de P(x) doit être positif !)
(Merci à Dom d'avoir signalé l'erreur dans la conjecture, le coefficient de P(x) doit être positif !)
Je suis donc je pense
Réponses
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Pour $P$ avec coefficient dominant négatif de sorte que $P(n)$ tende vers $-\infty$ et pour $Q=id$ ($Q : n\mapsto n$) il me semble que la partie entière devient exactement $Q(n)$ à partir d’un $n$ assez grand.
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Et si tu devais faire des pronostics, tu penses que cette conjecture est
- vraie, quasi sûr
- a priori vraie
- Aucune idée
- a priori fausse
- fausse, quasi sûr
?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Les grands auteurs sont unanimes : On dit UNE conjecture.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Si je devrais faire un pronostic je dirais "a priori vrai" (de manière probabilistique la conjecture me semble vraie....)[Inutile de répéter les messages précédents. Des liens suffisent. AD]Je suis donc je pense
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Ceci fait penser à des ex-conjectures, qui sont devenus des théorèmes, comme par exemple :
1°. En 1947, Mills montra qu'il existe $A > 0$ tel que $\left \lfloor A^{3^n} \right \rfloor$ est premier pour tout entier $n \geqslant 1$.
2°. Le résultat de Mills a par la suite été généralisé par plusieurs auteurs. Par exemple, Kuipers (1950) et Ansari (1951) ont montré indépendamment qu'il existe une infinité de nombres $A > 0$ tels que $\left \lfloor A^{c^n} \right \rfloor$ est premier pour tout entier $n \geqslant 1$, ou $c \geqslant 2,106$.
3°. Dans le cas $c=3$, Caldwell & Chang ont calculé en 2005 le plus petit $A$ possible : $A \approx 1,3063778838 \dotsc$ Voir aussi la suite A051021 de l'OEIS.
4°. En 2017, Tóth effectua un calcul dans la même veine et montra qu'il existe $B > 0$ tel que $\left \lceil B^{3^n} \right \rceil$ est premier pour tout entier $n \geqslant 1$, et donna $B \approx 1,245547052 \dotsc$ Il généralisa ensuite à tout nombre $\left \lceil B^{c^n} \right \rceil$ avec $c \geqslant 3$.
NdT (GBOF). -
Ma conjecture est donc fausse.... En effet il suffit de prendre $P(x)=\ln(A)n^2$ ... (Les $3^{2n}$ sont des carrés...)
Donc si les coefs sont réels la conjecture est fausse...
On peut donc se demander la conjecture est elle presque vraie ? Ou presque fausse ? Si les coefs sont entiers ? Etc.Je suis donc je pense -
Je crois qu'on ne sait même pas s'il y a une infinité de nombres premiers dans la suite $n^2+1$ alors que la fonction sous-jacente est simple donc j'imagine qu'en remplaçant par une fonction plus compliquée et éventuellement en prenant la partie entière de tout ceci on se retrouve avec un truc encore plus complexe, j'ai des doutes qu'on soit capable de prouver qu'on produit une infinité de nombres premiers de la sorte.
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Je comprends totalementJe suis donc je pense
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Pour donner vie, à ce fil de mon champion Q37
Conjecture
Il existe un entier réel A>0 tel que pour tout n>0, $\left \lfloor A^{2^n} \right \rfloor$ est un nombre premier .
Je pense , seulement je pense, que c'est démontrable à l'aide de la conjecture de Legendre signalé par FDP (d'une manière sous entendue) : pour tout entier n, il existe un nombre premier $p \in [n^2,(n+1)^2]$Le 😄 Farceur -
Si $A$ est entier, alors la conjecture est trivialement fausse.
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J'ai modifié . MerciLe 😄 Farceur
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gebrane a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2391361/#Comment_2391361
[Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]
Le postulat de Bertrand doit sûrement suffire amplement !
Édit : j'ai tout faux encore une fois...
Je suis donc je pense -
On va construire a l'aide de la conjecture de Legendre un bon A.
Pour n=1 Prenons A entre racine de 2 et racine de 3 de tel sorte que la partie entière de $A^2$ vaux 2 Puis on passe à n=2, on met au carré les borne de l'inégalité $A^4$ est entre 2 et 3
Pour n=3
$A^8$ est entre 4 et 9 (2^2 et (2+1)^2)
On restreint pour que la partie entière soit un nombre premier donc entre 5 et 6 par exempleOn continue
$A^{16}$ entre 25 et 36 on restreint à entre 29 et 30
On peut toujours continuer car il y a toujours un nombre premier entre n^2 et (n+1)^2 !
De cette façon on encadre $A^{2^n}$Je suis donc je pense -
Très interessantLe 😄 Farceur
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Un qui marcheA=1.8322818989665973292244126359158176963052220226504052816247983053530035134016188900754287898557730846314075828892866186134325585694594485291296822447258069759901565491799868651969200588864275493268780666404377061223166842547587412815...Pour l'obtenir je pars de $A=1.5$ et j'itère $A=nextprime(A^{2^n})^{(1/2^n)}$Ce qui donne comme premiers pour $\left\lfloor A^{2^{n}}\right\rfloor$n $\left\lfloor A^{2^{n}}\right\rfloor$1 3
2 11
3 127
4 16139
5 260467367
6 67843249271912789
7 4602706471770895174759486821758563
8 21184906865281682260250611096762182767319715052174847244371863825407 -
C'est un calcul pas une preuve. En considérant les premiers dans les petits intervalles $[x,x+x^{\theta}]$ (au moins un premier) il faudrait a priori que $\theta<1/2$ pour avoir une telle constante. La conjecture de Legendre est aussi suffisante.
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Conjecture : il existe A dans R tel que la partie entière de A^n soit premier pour tout n dans N*
(Merci Boécien d'avoir signalé l'oubli !)
Je suis donc je pense -
Pas possible celle là. Et il manque des parties entières dans ta proposition.
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Bonjour!
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