Droite coupant 4 cercles
Bonjour à tous 
Un problème qui m'intrigue.
Des cercles sont dessinés à l’intérieur d’un carré unité , la somme de leurs circonférences est égale à 10.
Montrer que l’on peut trouver une droite coupant au moins quatre de ces cercles.
Un problème qui m'intrigue.
Des cercles sont dessinés à l’intérieur d’un carré unité , la somme de leurs circonférences est égale à 10.
Montrer que l’on peut trouver une droite coupant au moins quatre de ces cercles.
J'ai pensé à remplacer les cercles par des carrés parallèles au carré initial mais sans aboutir.
Merci d'avance pour vos réponses.
Domi.
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Réponses
Je pense qu'il faut s'y prendre en faisant un raisonnement par l'absurde. Voir que les seules figures qu'on peut avoir ne donnent pas une somme des circonférences des cercles égale à 10.
Cordialement.
Domi
Moi je trace $n$ segments verticaux équidistants dans le carré, et je montre que si chaque segment ne peut croiser au plus que trois cercles, la somme des circonférences des cercles ne peut faire $10$ (car le diamètre de chaque cercle sera au plus $\frac{1}{n}$, et la somme des circonférences des cercles au plus $3\pi$).
Domi.
Domi.
Domi.
Je laisse dessiner dans le carré unité des cercles. Je regarde le diamètre du (des) cercle(s) de plus petit diamètre : supposons que ce diamètre est égal à $\frac1n$.
Je trace des droites verticales (parallèles) équidistantes de $\frac1n$. Si aucune de ces droites ne coupe 4 cercles, alors chaque droite coupe au plus 3 cercles. Mais alors la somme des circonférences des cercles est au plus $3n\pi\dfrac1n = 3\pi\lt 10$.
D'accord ?
Autre option : je t'ai déjà fait remarquer que le mot 'mais' était problématique dans une démonstration, réécris ta démonstration en évitant les 'mais' et les mots du même type, remplace mais par 'et' (en changeant ce qu'il faut)
et tu vas (peut-être) voir que ton raisonnement est faux.
Tu n'as point parlé de mathématique dans ta critique. Serais-tu incapable, encore une fois, de dire là où ça cloche dans ce raisonnement de trois lignes ?
@GBZM, je veux dire pour qu'il arrive à avoir au moins trois cercles par droite.... Il y a certainement des précisions à faire, mais je donnais un idée d'un raisonnement par l'absurde.
Et sinon, tu peux lire la suite.
Je ne te propose pas de remplacer "mais alors" par "et alors"
Je te propose d'écrire une succession de phrases supposées vraies.
D'abord, tu annonces ton plan :
On trace des droites verticales, espacées de $1/n$, et on va trouver un majorant pour la somme des circonférences. Si on trouve un majorant qui est inférieur à $10$, alors la propriété est démontrée.
Lemme 1 :
Si aucune de ces droites ne coupe 4 cercles, alors chaque droite coupe au plus 3 cercles. C'est ce que tu écris, oui, ok.
Lemme 2
Donc le nombre de cercles qui ont un diamètre supérieur à $1/n$ ne peut pas dépasser $3n$.
Lemme 3
Le diamètre de ces cercles ne peut pas dépasser 1.
Lemme 4
La somme des circonférences ne peut donc pas dépasser $3n \pi$
On a bien un majorant pour la somme des circonférences, et ce majorant est $3n \pi$
Ce nombre est-il inférieur à $10$ ?
Non, dès que $n>1$.
Conclusion : la piste n'aboutit pas.
@lourrran, ton lemme 2 est foireux. Moi je donne ce qu'il peut avoir au mieux comme somme des circonférences des cercles s'il ne veut pas qu'une droite coupe 4 cercles (c'est trois cercles de diamètre $\frac1n$ par droite).
Je disais que je donnais une idée d'un raisonnement par l'absurde....Il peut prendre des droites juxtaposées, par exemple 5, leur permettre de couper chacune 2 cercles de diamètre $\frac1n$ et un plus grand cercle qui se permet de couper que ces 5 droites (alors de diamètre $\lt$ \frac5n), mais la somme des circonférences qu'il récupère devient plus petit que $3\pi$...@lourrran, tu fais des étalages de connaissance sans comprendre l'essence d'un sujet. Je note le caractère éparpillé et catastrophique de tes interventions
La toute première erreur, c'est un truc que moi j'ai appris en CM1.
J'ai une longueur de 1.
Je place à l'intérieur de cette longueur des poteaux espacés de $1/n$.
Combien de poteaux vais-je placer ?
Toi, tu réponds $n$ poteaux, mais la bonne réponse est $n-1$.
Mais tu peux rectifier cette erreur, ça ne changera rien, ta démonstration restera totalement fausse.
@GBZM crois pas que je te prends comme juge. On s'est déjà rencontré dans ce forum. ''...tu as gaché ton idée'', j'ai alors eu une idée que j'ai même pas comprise et mon idée vous la comprenez mieux que moi ! Tout est possible avec vous, les coalisés.
Parfaitement, babsgueye. L'idée de prendre des droites verticales équidistantes n'était pas mauvaise, mais tu n'as pas su l'utiliser correctement.
Voila ce qu'il aurait fallu faire :
En d'autres termes : si aucune droite ne coupe 4 cercles, alors la somme des circonférences des cercles ne peut atteindre 10.
Moi je donnais une idée par l'absurde, toi tu penses à une preuve directe (que je vois mal ici), alors débrouille toi pour bien rédiger ta preuve.
@GBZM,tu me dis que l'exercice a été résolu ; moi je n'ai pas vu de solution dans ce fil...
Soit $n$ cercles de diamètres $d_1,\dots,d_n$ dessinés à l’intérieur d’un carré unité , la somme de leurs circonférences étant égale à 10. On a donc $\pi\sum_1^n d_i=10$ et de là $\sum_1^n d_i=\dfrac{10}{\pi}>3$.
On supposera que $[0,1]\times \{0\}$ est un côté du carré unité et nous noterons $I_k$ pour $k=1,\dots,n$ les intervalles obtenus en projetant les $n$ cercles sur l'axe des abscisses. Si on note $|I_k|$ la longueur de l'intervalle $k$ alors on a évidemment $|I_k|=d_k$.
Considérons la variable aléatoire $X:[0,1]\to \R$ définie par $X(\omega):=\text{nombre de cercles coupés par une droite verticale d'abscisse } \omega$, où $[0,1]$ est muni de la tribu borélienne et de la mesure de probabilité uniforme (qui est donc la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$...).
Notons $\mathbf{1}_{I_k}$ la fonction caractéristique de l'intervalle $I_k$. On remarque alors que $X$ est donné par $X=\sum_1^n \mathbf{1}_{I_k}$ et par conséquent l’espérance de $X$ est donnée par $E(X)=\sum_1^n \int_{I_k} d\lambda=\sum_1^n |I_k|=\sum_1^n d_k>3$.
Par conséquent il existe une droite qui coupe au moins 4 cercles car sinon $X\leq 3$ p.p et on aurait $E(X)=\int_0^1 X d\lambda \leq 3 \cdot \lambda([0,1])=3$. On peut même dire qu'il existe "un ensemble de mesure non nulle de droites" (l'ensemble de leurs abscisses étant de mesure non nulle) qui coupe au moins 4 cercles.babsgueye a dit : dans ton cas il y a une issue par contre... Shtam, va y faire un tour et n'en ressors plus
Domi
Montrer que l’on peut trouver une droite coupant au moins quatre de ces sphères.
Sinon je pense que la probabilité dont tu parles en ne s'occupant pas du nombre de cercles coupés, peut approcher 1.
Par ailleurs dans l'adaptation à 3D, je pense qu'on peut s'arrêter à 10 au lieu de 12, et parler de plan au lieu de droite.
Cordialement
Regarde cette configuration elle montre pourquoi la borne inférieure est 0.
ou cet autre si celle d'avant ne t'inspire pas :
Il s'agit bien sûr d'un jeu qui n'engage que moi
Domi