Droite coupant 4 cercles

Domi

Bonjour à tous 
Un problème qui m'intrigue.
Des cercles sont dessinés à l’intérieur d’un carré unité , la somme de leurs circonférences est égale à 10.
Montrer que l’on peut trouver une droite coupant au moins quatre de ces cercles.

J'ai pensé à remplacer les cercles par des carrés parallèles au carré initial mais sans aboutir.
Merci d'avance pour vos réponses.
Domi.

babsgueye

Salut. 
Je pense qu'il faut s'y prendre en faisant un raisonnement par l'absurde. Voir que les seules figures qu'on peut avoir ne donnent pas une somme des circonférences des cercles égale à 10.
Cordialement.

Domi

On peut prendre $10$ cercles de diamètre $\frac 1{\pi}$ dans le carré , la circonférence totale est bien égale à $10$ .

Domi

babsgueye

Oui, mais forcement une droite qui rencontre $4$ de ces cercles.

Moi je trace $n$ segments verticaux équidistants dans le carré, et je montre que si chaque segment ne peut croiser au plus que trois cercles, la somme des circonférences des cercles ne peut faire $10$ (car le diamètre de chaque cercle sera au plus $\frac{1}{n}$, et la somme des circonférences des cercles au plus $3\pi$).

Domi

Je ne pense pas que ta propriété soit juste mais considérer $\frac{10}{\pi}$ la somme des diamètres des cercles semble une bonne piste. Je me demande s'il ne serait pas plus malin de remplacer le carré par son cercle circonscrit plutôt que le cercle par des carrés. On serait alors ramené à chercher un diamètre intersectant $4$ cercles.
Domi.

babsgueye

Moi je propose un raisonnement par l'absurde, toi autre chose, mais je ne vois pas comment tu peux t'en sortir comme ça (la même question pouvait être posée avec ''la somme des circonférences $\geq 10$'').

GaBuZoMeu

Bonjour,

Je pense que la formule de Cauchy-Crofton fait l'affaire. Mais peut-être est-ce un marteau-pilon pour écraser une mouche ? En tout cas, ça demande vérification.

PS. Il vaut mieux lire la page Wikipedia anglaise, la française est assez indigente.

GaBuZoMeu

Caramba, c'est raté ! Si la somme des périmètres était 10,6, alors ça marcherait avec Cauchy-Crofton

Domi

En revenant à des choses plus simples et en reprenant l'idée des diamètres parallèles à un côté du carré. Si on pouvait montrer que pour toute suite de $a_i$, $b_i$ de $n$ points avec $0\leq a_i <b_i \leq 1$ et $\displaystyle{\sum_{i=1}^n{a_i+b_i}<n-3}$, il existe un point $x$ appartenant à au moins 4 segments $[a_i,b_i]$, on aurait fini.
Domi.

GaBuZoMeu

L'histoire des diamètres verticaux marche bien. La somme des longueurs de ces diamètres est $10/\pi >3$. Quand on projette horizontalement ces diamètres sur un côté vertical du carré, il y a donc au moins un point de ce côté qui est l'image d'au moins quatre points sur des diamètres. En effet, si tous les points du côté étaient l'image d'au plus trois points, la somme des longueurs des diamètres serait majorée par 3.

Avec Cauchy-Crofton, on obtient que si C est une réunion de courbes fermées  dessinées dans le carré unité et de longueur totale supérieure ou égale à 10,6, alors il existe une droite qui coupe C en au moins 8 points.

Domi

Oui, je ne sais pas pourquoi je faisais un blocage sur le fait que la somme des longueurs des segments ne pouvait excéder 3 sans qu'un point appartienne à 4 d'entre eux.
Domi.

babsgueye

J'ai l'impression que mon raisonnement par l'absurde ne satisfait pas. Je vais la formuler d'une autre manière.
Je laisse dessiner dans le carré unité des cercles. Je regarde le diamètre du (des) cercle(s) de plus petit diamètre : supposons que ce diamètre est égal à $\frac1n$.
Je trace des droites verticales (parallèles) équidistantes de $\frac1n$. Si aucune de ces droites ne coupe 4 cercles, alors chaque droite coupe au plus 3 cercles. Mais alors la somme des circonférences des cercles est au plus $3n\pi\dfrac1n = 3\pi\lt 10$.
D'accord ?

lourrran

Fais un dessin, et tu vas (peut-être) voir que ton raisonnement est faux.

Autre option : je t'ai déjà fait remarquer que le mot 'mais' était problématique dans une démonstration, réécris ta démonstration en évitant  les 'mais' et les mots du même type,  remplace mais par 'et' (en changeant ce qu'il faut) 
et tu vas (peut-être) voir que ton raisonnement est faux.

babsgueye

@lourrran, comment Et alors à la place de Mais alors peut avoir un impact à signaler sur un raisonnement mathématique. Je préfère de loin Mais alors.
Tu n'as point parlé de mathématique dans ta critique. Serais-tu incapable, encore une fois, de dire là où ça cloche dans ce raisonnement de trois lignes ?

GaBuZoMeu

Il y a de l'idée, mais pourquoi est-ce que "la somme des circonférences des cercles est au plus $3n\pi\dfrac1n$" ? Je rappelle que $\dfrac1n$ est un minorant des diamètres.

babsgueye

Parce que le mec s'il ne veut pas qu'il y ait intersection d'une droite avec 4 cercles, il est obligé de prendre ce minorant comme majorant des diamètres.
@GBZM, je veux dire pour qu'il arrive à avoir au moins trois cercles par droite.... Il y a certainement des précisions à faire, mais je donnais un idée d'un raisonnement par l'absurde.

raoul.S

Pourquoi tu ne t'en retournerais pas dans Shtam pour proposer tes preuves foireuses babsgueye ? Avec ton minorant ta majoration n'est plus valable...

lourrran

Il me semble que tu es prof. Tu pourrais proposer ton raisonnement à tes élèves (sans dire que ça vient de toi, essaye de garder un peu d'autorité sur eux). Si tu as des bons élèves (bons lycéens), ils peuvent te dire que c'est faux, et t'expliquer ton erreur.

Et sinon, tu peux lire la suite.

Je ne te propose pas de remplacer "mais alors" par "et alors"
Je te propose d'écrire une succession de phrases supposées vraies.
D'abord, tu annonces ton plan : 
On trace des droites verticales, espacées de $1/n$, et on va trouver un majorant pour la somme des circonférences. Si on trouve un majorant qui est inférieur à $10$, alors la propriété est démontrée.

Lemme 1 :
Si aucune de ces droites ne coupe 4 cercles, alors chaque droite coupe au plus 3 cercles.  C'est ce que tu écris, oui, ok.

Lemme 2
Donc le nombre de cercles qui ont un diamètre supérieur à $1/n$ ne peut pas dépasser $3n$.    

Lemme 3
Le diamètre de ces cercles ne peut pas dépasser 1.

Lemme 4 
La somme des circonférences ne peut donc pas dépasser $3n \pi$

On a bien un majorant pour la somme des circonférences, et ce majorant est $3n \pi$
Ce nombre est-il inférieur à $10$ ?
Non, dès que $n>1$.

Conclusion : la piste n'aboutit pas.

babsgueye

@raoul.S, je ne t'ai pas compris.
@lourrran, ton lemme 2 est foireux. Moi je donne ce qu'il peut avoir au mieux comme somme des circonférences des cercles s'il ne veut pas qu'une droite coupe 4 cercles (c'est trois cercles de diamètre $\frac1n$ par droite).
Je disais que je donnais une idée d'un raisonnement par l'absurde....Il peut prendre des droites juxtaposées, par exemple 5, leur permettre de couper chacune 2 cercles de diamètre $\frac1n$ et un plus grand cercle qui se permet de couper que ces 5 droites (alors de diamètre $\lt$ \frac5n), mais la somme des circonférences qu'il récupère devient plus petit que $3\pi$...@lourrran, tu fais des étalages de connaissance sans comprendre l'essence d'un sujet. Je note le caractère éparpillé et catastrophique de tes interventions

raoul.S

Aucun intervenant de ce fil ne valide "ta preuve". GaBuZoMeu t'a expliqué ce qui cloche.

babsgueye

J'ai répondu à GBZM.

GaBuZoMeu

Et ce que tu as répondu, c'est n'importe quoi. Peut-être qu'en creusant ton idée pour la faire marcher, tu aurais trouvé une démonstration valable. Mais ce n'est pas le cas, tu as gâché ton idée.

De toutes façons, ça serait beaucoup moins simple que la solution qui a déjà été donnée.

lourrran

Bon, on va commencer par la toute première erreur, parce que les histoires de quantificateurs, c'est du niveau fin de collège, un peu compliqué pour toi.
La toute première erreur, c'est un truc que moi j'ai appris en CM1.
J'ai une longueur de 1.
Je place à l'intérieur de cette longueur des poteaux espacés de $1/n$.
Combien de poteaux vais-je placer ?
Toi, tu réponds $n$ poteaux, mais la bonne réponse est $n-1$.

Mais tu peux rectifier cette erreur, ça ne changera rien, ta démonstration restera totalement fausse.

babsgueye

@lourrran tu as tout faux. Je place bien $n$ poteaux sans les cotes du carre, sinon ce serait $n+1$ poteaux au des $n$ dont tu parles. Tu n'a rien compris et tu parles beaucoup.
@GBZM crois pas que je te prends comme juge. On s'est déjà rencontré dans ce forum. ''...tu as gaché ton idée'', j'ai alors eu une idée que j'ai même pas comprise et mon idée vous la comprenez mieux que moi ! Tout est possible avec vous, les coalisés.

GaBuZoMeu

j'ai alors eu une idée que j'ai même pas comprise et mon idée vous la comprenez mieux que moi !

Parfaitement, babsgueye. L'idée de prendre des droites verticales équidistantes n'était pas mauvaise, mais tu n'as pas su l'utiliser correctement.

Voila ce qu'il aurait fallu faire :

On a $n-1$ droites verticales d'abscisses $\dfrac1n,\dfrac2n,\ldots\dfrac{n-1}n$. Soit $p$ le nombre de ces droites coupées par un cercle de diamètre $d$ contenu dans le carré unité. Donner un encadrement de $p$ en fonction de $n$ et $d$.

On suppose maintenant avoir $k$ cercles dans la carré unité, de diamètres $d_1,\ldots,d_k$ respectivement et coupant respectivement $p_1,\ldots,p_k$ des $n-1$ droites verticales ; le nombre moyen de cercles coupés par les $n-1$ droites est $\dfrac{p_1+\cdots+p_k}{n-1}$. Montrer que la limite de ce nombre moyen quand on fait tendre $n$ vers l'infini est $d_1+\cdots+d_k$. Conclure.

babsgueye

C'est que tu n'as pas compris mon idée. Je n'ai jamais pensé faire une démonstration directe et je l'ai dit. J'ai pensé à une preuve par l'absurde.
En d'autres termes : si aucune droite ne coupe 4 cercles, alors la somme des circonférences des cercles ne peut atteindre 10.
Moi je donnais une idée par l'absurde, toi tu penses à une preuve directe (que je vois mal ici), alors débrouille toi pour bien rédiger ta preuve.
@GBZM,tu me dis que l'exercice a été résolu ; moi je n'ai pas vu de solution dans ce fil...

GaBuZoMeu

Si tu n'as pas vu de solution, c'est que tu n'as pas bien lu.

J'ai parfaitement compris ton début de commencement d'idée. Ton raisonnement par l'absurde revient, dans le cadre correct que j'ai esquissé, à la conclusion que je t'invitais à faire : si toutes les droites coupaient au plus trois cercles, alors le nombre moyen de cercles coupé par les droites serait inférieur ou égal à trois. Or, quand $n$ tend vers l'infini, ce nombre moyen tend vers $d_1+\cdots+d_k$.

Je t'engage à répondre aux questions posées dans mon dernier message. Tu pourras alors voir comment utiliser cette idée de droites verticales régulièrement espacées, de façon correcte.

PS. Cette idée de droites verticales espacées de $1/n$ avec $n$ qui tend vers l'infini n'est pas très éloignée de l'idée de la solution simple qui consiste à considérer toutes les droites verticales d'abscisse entre 0 et 1, avec la mesure (de probabilité) uniforme. Là, on trouve directement que le nombre moyen de cercles rencontrés est $d_1+\cdots+d_k$.

babsgueye

Je ne vois aucune valeur numérique se dessiner. Ta voie est sans issue. Maaaaal !

raoul.S

@babsgueye  tu ne comprends pas la solution géniale de simplicité de GaBuZoMeu. Je la détaille car ça en vaut la peine : 

Soit $n$ cercles de diamètres $d_1,\dots,d_n$ dessinés à l’intérieur d’un carré unité , la somme de leurs circonférences étant égale à 10. On a donc $\pi\sum_1^n d_i=10$ et de là $\sum_1^n d_i=\dfrac{10}{\pi}>3$.

On supposera que $[0,1]\times \{0\}$ est un côté du carré unité et nous noterons $I_k$ pour $k=1,\dots,n$ les intervalles obtenus en projetant les $n$ cercles sur l'axe des abscisses. Si on note $|I_k|$ la longueur de l'intervalle $k$ alors on a évidemment $|I_k|=d_k$.

Considérons la variable aléatoire $X:[0,1]\to \R$ définie par $X(\omega):=\text{nombre de cercles coupés par une droite verticale d'abscisse } \omega$, où $[0,1]$ est muni de la tribu borélienne et de la mesure de probabilité uniforme (qui est donc la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$...).

Notons $\mathbf{1}_{I_k}$ la fonction caractéristique de l'intervalle $I_k$. On remarque alors que $X$ est donné par $X=\sum_1^n \mathbf{1}_{I_k}$ et par conséquent l’espérance de $X$ est donnée par $E(X)=\sum_1^n \int_{I_k} d\lambda=\sum_1^n |I_k|=\sum_1^n d_k>3$.

Par conséquent il existe une droite qui coupe au moins 4 cercles car sinon $X\leq 3$ p.p et on aurait $E(X)=\int_0^1 X d\lambda \leq 3 \cdot \lambda([0,1])=3$. On peut même dire qu'il existe "un ensemble de mesure non nulle de droites" (l'ensemble de leurs abscisses étant de mesure non nulle) qui coupe au moins 4 cercles.babsgueye a dit :

Ta voie est sans issue. Maaaaal !

dans ton cas il y a une issue par contre... Shtam, va y faire un tour et n'en ressors plus

babsgueye

La mesure de cet ensemble est $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}d_i - 3$. Tout ce baratin là n'en valait pas la peine pour être clair.

GaBuZoMeu

Non, @babsgueye, c'est encore faux, ce n'est qu'une borne inférieure de la mesure. Si tu réfléchis un peu, tu pourras trouver une situation où la probabilité pour une droite verticale d'abscisse entre 0 et 1 de couper quatre cercles est $10/(4\pi)$. Entre $10/\pi -3\simeq 0,183$ et $10/(4\pi)\simeq 0,796$, il y a de la marge !

babsgueye

Cela n'a donc rien à voir avec le raisonnement de @raoul.S ! Je ne vois pas cette situation. C'est laquelle ? D'où sort le $10/(4\pi)$ ?

GaBuZoMeu

Bien sûr que si ça a à voir. Le raisonnement donne une borne inférieure $>0$ de la mesure de l'ensemble des bonnes droites verticales, et donc l'existence.

Je te laisse réfléchir à comment faire sortir le $10/(4\pi)$. Ce n'est vraiment pas très dur.

Domi

Ce problème a fait remonter en moi de vieux souvenirs de fête foraine où il fallait éclater des ballons qui s'agitaient dans une boîte cubique à l'aide de quelques plombs bien ajustés . Je me demande si on peut adapter l'exercice à la 3D sans en perdre l'originalité .

Domi

GaBuZoMeu

Des sphères sont à l’intérieur d’un cube unité , la somme de leurs surfaces est strictement plus grande que 12.
Montrer que l’on peut trouver une droite coupant au moins quatre de ces sphères.

babsgueye

@GBZM, c'est cette borne inferieure que j'ai donnée, et je pense que c'est ce qu'il faut donner, si on suppose que le mec ne va pas dessiner ses cercles n'importe comment, car il essayera de ne pas avoir 4 cercles coupés par une droite.
Sinon je pense que la probabilité dont tu parles en ne s'occupant pas du nombre de cercles coupés, peut approcher 1.

Par ailleurs dans l'adaptation à 3D, je pense qu'on peut s'arrêter à 10 au lieu de 12, et parler de plan au lieu de droite.
Cordialement

raoul.S

babsgueye a dit :

@GBZM, c'est cette borne inferieure que j'ai donné, et je pense que c'est ce qu'il faut donner...

@babsgueye toujours faux . La borne inférieur n'est pas $10/\pi -3$, la borne inférieure est $0$ et elle n'est jamais atteinte.

Regarde cette configuration elle montre pourquoi la borne inférieure est 0.





ou cet autre si celle d'avant ne t'inspire pas : 

GaBuZoMeu

Tu as raison, @raoul.S , je me suis trompé en parlant de borne inférieure pour $10/\pi-3$. Ce n'est la borne inférieure que pour les situations où chaque droite verticale coupe au plus quatre cercles.

babsgueye

Je vois qu'il y a surtout envie de dire ''non @babsgueye, t'as pas raison''. Quand je disais à @raoul.S que la mesure de cet ensemble est $10/\pi - 3$'' on parlait de quelque chose de bien précise, Les posts que vous avez faits après sur cette remarque n'ont aucun intérêt, (mis à part les belles figures de raou.S et la question de généralisation de @Domi i).

GaBuZoMeu

As-tu compris le $10/(4\pi)$ ?

babsgueye

Pour moi il correspond à une des nombreuses situations possibles. Je ne l'ai vraiment pas cherché.

GaBuZoMeu

Bref, tu n'as pas compris ...

Peut-être ce dessin t'aidera à comprendre, aussi à comprendre pourquoi on ne peut pas aller au-delà de $10/(4\pi)$.

Domi

Merci GaBuZoMeu pour la version 3D (en fait je l'avais déjà). Je cherchais plutôt quelque chose avec le volume et le nombre de ballons pour rendre le problème plus ludique. Je voyais quelque chose du genre on remplit B ballons avec L de litres de gaz et on les place dans un cube d'arête A qui a une face ouverte. Existe-t-il nécessairement un angle de tir qui permet de percer 3 ballons avec une seule balle ?

Il s'agit bien sûr d'un jeu qui n'engage que moi 
Domi