Homomorphismes de Freimann
Bonjour, je fais mes débuts dans la combinatoire additive et j'ai une question sur les homomorphismes de Freimann.
Je commence par définir un morphisme de Freimann : si A et B sont deux ensembles de cardinaux finis, un morphisme de Freimann $f:A \to B$ d'ordre $2$ est une application tel que pour tout $x,y,z,t\in A$ tel que $x+y=z+t$ alors $f(x)+f(y)=f(z)+f(t)$. On dit que $f$ est un isomorphisme de Freimann si cette application admet un inverse vérifiant la même propriété ci dessus. Cette définition peut s'étendre à l'ordre $k$ suivant la même logique.
J'aimerais démontrer que si $A $ est un ensemble fini de $ \mathbb{Z}^2$ alors il existe $B$ un ensemble fini de $ \mathbb{Z}$ et il existe un isomorphisme de Freimann d'ordre 2 ( même d'ordre k) entre $A$ et $B$.
J'ai pensé à définir une application linéaire ( donc satisfait par définition la condition) entre $A$ et $B$. Et j'ai pensé à l'application somme des composantes. Malheureusement elle n'est pas bijective. Et j'arrive pas à imaginer une application non linéaire vérifiant cette hypothèse de Freimann.
Merci de vos réactions.
Je commence par définir un morphisme de Freimann : si A et B sont deux ensembles de cardinaux finis, un morphisme de Freimann $f:A \to B$ d'ordre $2$ est une application tel que pour tout $x,y,z,t\in A$ tel que $x+y=z+t$ alors $f(x)+f(y)=f(z)+f(t)$. On dit que $f$ est un isomorphisme de Freimann si cette application admet un inverse vérifiant la même propriété ci dessus. Cette définition peut s'étendre à l'ordre $k$ suivant la même logique.
J'aimerais démontrer que si $A $ est un ensemble fini de $ \mathbb{Z}^2$ alors il existe $B$ un ensemble fini de $ \mathbb{Z}$ et il existe un isomorphisme de Freimann d'ordre 2 ( même d'ordre k) entre $A$ et $B$.
J'ai pensé à définir une application linéaire ( donc satisfait par définition la condition) entre $A$ et $B$. Et j'ai pensé à l'application somme des composantes. Malheureusement elle n'est pas bijective. Et j'arrive pas à imaginer une application non linéaire vérifiant cette hypothèse de Freimann.
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Réponses
Si $X(x_{1}, x_{2})$ et $Y(y_{1}, y_{2})$ sont dans $A$.
$X + Y = Z(x_1 + y_{1}, x_2 + y_{2})$.
Soit $f : \,A\to \,\mathbb{Z}$ telle que $f(X) = x_1 + x_2$ et $f(Y) = y_1 + y_2$ si $y_1 + y_2\neq x_1 + x_2$ et $f(Y) = y_1 + y_2 + y_0$ si $y_1 + y_2 = x_1 + x_2$.
Comme $A$ est fini, tu pourra de proche en proche (en choisissant bien les $y_0$) avoir une application $f$ bijective de $A$ vers $Im(f)$ qui est lui aussi fini.
Cordialement.
À Babsgueye,
Je pense que cette méthode nous donne un morphisme de Freimann d'ordre au plus 2. Parce que si on considère $X_1(1,1), X_2(0,2), X_3(1,0)$, et également $Y_1(1,1), Y_2(1,2), Y_3(0,0)$ alors on a bien $X_1+X_2+X_3=Y_1+Y_2+Y_3$ par contre à cause de l'égalité $Y_1=X_1$ on ne pourra pas avoir une égalité de la somme des images de chaque groupe.
À Amédé,
j'ai rien à ajouter, cette solution est satisfaite.
Merci à vous !