Crochet de Lie et extension des scalaires

Homo Topi

Je vais sûrement avoir plusieurs questions sur le sujet, voici la première.

Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie sur un corps $k$ (de dimension finie si nécessaire). Soit $K$ une extension de $k$ et soit $\mathfrak{h}:=\mathfrak{g} \otimes_k K$. Peut-on munir $\mathfrak{h}$ d'un crochet de Lie "hérité de $\mathfrak{g}$" ?

Pour le contexte (attention, les notations changent par rapport à au-dessus !) :

Je dispose d'un corps $k$ de caractéristique nulle, d'un $k$-espace vectoriel $V$ de dimension finie, et d'une sous-algèbre de Lie $\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)$. Je veux démontrer un théorème, je dispose d'une démonstration qui marche quand $k$ est algébriquement clos et maintenant se pose la question du cas quelconque. J'essaie de me ramener au cas algébriquement clos en prenant une clôture algébrique $K$ de $k$, en définissant $W = V \otimes_k K$, je "sais" (je dois encore en finir une preuve) que $\text{End}(W) \simeq \text{End}(V) \otimes_k K$ mais je ne "sais" ça que comme un isomorphisme d'espaces vectoriels. Puisque $\mathfrak{gl}(V)=\text{End}(V)$ et $\mathfrak{gl}(W)=\text{End}(W)$ comme espaces vectoriels, la question qui se pose est si le crochet de Lie de $\mathfrak{gl}(V)$ fournit un crochet de Lie à $\text{End}(W)$, de sorte que $\mathfrak{gl}(W) \simeq \mathfrak{gl}(V) \otimes_k K$, en tant qu'algèbres de Lie cette fois.

Amédé

Comment tu définis le crochet de Lie sur un produit tensoriel?

Homo Topi

Justement, c'est ça la question. Sans ça, je ne sais pas continuer mon truc non plus.

Math Coss

Pour $X\otimes \lambda, Y\otimes \mu\in \mathfrak g\otimes K$, on pose simplement $[X\otimes \lambda, Y\otimes \mu]=[X,Y]\otimes \lambda\mu$ (et on prolonge par linéarité pour les sommes de tenseurs purs).
C'est le crochet associé au produit associatif qui prolonge celui de $\mathfrak{gl}(V)$ à $\mathfrak{gl}(V)\otimes K= \mathfrak{gl}(V\otimes K)$.

Homo Topi

Hm, ça coule relativement de source ! Merci.

Homo Topi

@Math Coss dis-moi, peut-on généraliser ça au PT $\mathfrak{g}_1 \otimes \mathfrak{g}_2$ de deux algèbres de Lie "quelconques" (enfin, sur le même corps de base, quand même) en posant $[x_1 \otimes x_2, y_1 \otimes y_2] := [x_1,y_1]_1 \otimes [x_2,y_2]_2$ ? Je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas, si c'est "réservé" à l'extension des scalaires ou au moins à "certaines classes" de constructions de PT, ça serait quand même intéressant.

i.zitoussi

@Homo Topi Le crochet que tu as défini sur $\mathfrak{g}_1\otimes \mathfrak{g}_2$ ne vérifie pas l'identité de Jacobi. Et je ne crois pas qu'une telle notion (produit tensoriel d'algèbres de Lie) existe. Par contre on a canoniquement pour l'algèbre enveloppante universelle $U(\mathfrak{g}_1)\otimes U(\mathfrak{g}_2)$  $\simeq$ $U(\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_2)$.

Math Coss

En effet.

Homo Topi

Donc avec l'extension des scalaires c'est vraiment un "coup de chance" en fait.

Je dois encore revoir la notion d'AEU, mais là pour ce que j'essaie de faire (démonstration "carrée" du critère de Cartan) je n'ai pas besoin de plus que du PT d'extension des scalaires, qui donc me fait la faveur de marcher comme je veux.

Amédé

@Homo Topi : la version $\frak{g}$ est semi-simple si et seulement si la forme de Killing sur $\frak{g}$ est non dégénérée? Ou le critère de resolubilité?

Homo Topi

Résolubilité, l'autre est un corollaire que je sais déjà démontrer à partir du premier.

Amédé

Tu as une preuve dans Serre (page 42-43), mais je suis curieux de voir la tienne.

Homo Topi

La mienne est laborieuse parce que je découvre. Mon aventure dans les algèbres de Lie est répartie sur plusieurs fils de discussion maintenant, mais pour raconter ça simplement : je m'étais procuré un bouquin sur conseil d'un de mes profs de Master, "Lectures on Lie groups and Lie algebras" de Carter, Seagal, Macdonald. La première partie du livre concerne les algèbres de Lie, en particulier la classification des algèbres de Lie simples sur $\C$ avec les systèmes de racines, diagrammes de Dynkin etc. Relativement tôt dans le livre, il utilise le critère de Cartan (Killing non dégénérée) et à l'époque, j'avais juste admis le truc pour continuer à lire. Puis un jour j'ai décidé d'essayer de comprendre ce passage. Dans le livre, les grands théorèmes ne sont pas présentés ni même mentionnés, alors j'ai fini par me faire un programme de travail. Le critère de Killing-Cartan est un corollaire du critère de Cartan, démontré à l'aide d'un critère de nilpotence (cf un autre de mes fils de discussion), et au passage les théorèmes de Lie et de Engel sont fondamentaux et nécessaires aussi, alors j'ai voulu les démontrer aussi. Je fais tout avec Wikipédia + l'aide du forum. Quand j'aurai des preuves complètes, j'essaierai de nettoyer mon texte pour que ce soit un peu plus lisible, peut-être que je le publierai carrément, à voir.