Ensembles "midpoint convexes"
dans Analyse
Un ensemble A est midpoint convexe ( je ne connais pas le terme en français) lorsque pour tout $\ x,y \in A , \tfrac{x+y}{2} \in A $ . On me demande de montrer que si un ensemble A est fermé et midpoint convexe , alors il est convexe .
Je pensais à construire une sorte de suite de milieux qui converge vers un élément quelconque d'un segment mais je n'arrive pas à formaliser
Je pensais à construire une sorte de suite de milieux qui converge vers un élément quelconque d'un segment mais je n'arrive pas à formaliser
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Réponses
Rescassol
J'ai cela en stock, ce n'est sans doute pas parfait... mais cela peut être utile.
Jean-éric
Edit (cf. ci-dessous) : on aurait alors raison de me faire remarquer que c'est écrit ! Pour pinailler je demanderais peut-être de justifier la continuité mais le cœur n'y serait plus...
En ce qui concerne la continuité, et prenant $t$ et $t_0$ dans l'intervalle $[0\ ; \ 1]$, on obtient
que $\left\| \varphi(t) -\varphi(t_0)\right\| \leq |t-t_0| \times \left\| x-y\right\|$ ce qui permet de montrer la continuité en n'importe quel $t_0$ de cet intervalle.
Espérant que cette fois, Math Coss ne me cloue pas au pilori, cependant, ayant déjà été recalé deux fois, je ne risque plus grand chose...