Test d'égalité de proportions

malavita

Bonjour à tous,
cette fois ci je dispose de deux suites de variables aléatoires iid $X_1,\cdots,X_n$ et $Y_1,\ldots,Y_m$ de lois respectives $\mathcal{p_1}$ et $\mathcal{p}_2$. Je désire tester l'égalité $p_1=p_2$.

Si je note $\overline{X}$ et $\overline{Y}$ les moyennes respectives de ces suites, sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $T=\overline{X}-\overline{Y}$ suit asymptotiquement une loi normale $\mathcal{N}(0,k \sqrt{p(1-p)})$ ,avec $k=\sqrt{\frac1{n}+\frac1{m}}$ et $\frac{T}{k\sqrt{p(1-p)}}$ suit donc asymptotiquement une loi normale centrée réduite. À partir de ça, on peut utiliser le célèbre intervalle $[-1.96,1.96]$ pour valider $H_0$.

Or, comme $p$ est a priori inconnue, on le remplace par son estimation, ce qui revient à utiliser, en notant $S=\overline{X}+\overline{Y}$, la statistique:$\frac{T}{k\sqrt{S(1-S)}}$

Problème : quelle est la loi de cette statistique ? J'imagine que l'on considère aussi que c'est une loi normale centrée réduite (vu qu'on est déjà dans un cadre asymptotique), mais je serais curieux de savoir ce qui se cache derrière cette approximation... Je miserais bien sur un cousin de tonton Student ;-)
Bonne journée.
F.