Avec une constante $C$ (indépendante de $a$) ? Pourtant, l'intégrale de $a$ à $+\infty$ est équivalente à $\displaystyle\frac1a\exp(-a^2/2)$ quand $a\to+\infty$.
@john_john Tu as oublié je pense le facteur $\frac 1{\sqrt{2\pi}}$ dans la fonction de densité $P(X\geq a)=\int_a^{+\infty} f(x) dx$ avec $f(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$. On a $f'(x)=-xf(x)$, d'où $P(X\geq a)=\int_a^{+\infty} \frac{xf(x)}x dx\le \int_a^{+\infty} \frac{xf(x)}a dx =-\frac 1a \int_a^{+\infty} f'(x) dx=\frac 1a\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{a^2}2}$
L'exerccie 9 de la saison VII est classique, mais en Algèbre : comme $B$ est somme de matrices de la forme $L\!\cdot\,^t\!L$, où $L=(\ell_1,...)$ est un vecteur ligne, il suffit d'établir le résultat dans ce cas. Or, on a alors $^t\!XCX=\sum a_{i,j}(\ell_ix_i)(\ell_jx_j)\geqslant0$.
Je réfléchis au problem 5. "The sequence of random variables (Xn)n∈N converges in probability to the random
variable X. If Xn and X are independent for every n ∈ N, does it follow that X is constant a.s. ? " Il me semble avoir déjà vu ce résultat Soit {Xn} une suite de variables aléatoires indépendantes convergeant presque sûrement vers une variable aléatoire X. Alors X est presque sûrement une constante. Maintenant si une suite converge en proba alors il existe une sous-suite qui converge presque sûrement, donc on conclut ? que X est constante p.s (en disant que si Xn et X indépendantes pour tout n ∈ N, alors les variables aléatoires {Xn} sont indépendantes ?).
gebrane je ne pense pas que ta parenthèse est vraie en général, il faut soit montrer que ça marche quand même dans ce cas, soit trouver un contre-exemple pour l'exercice, l'énoncé me fait penser à la loi du zéro un de Kolmogorov, les tribus de queues... Je reviens quand j'ai un peu de temps.
Bonjour À justifier (je ne sais plus faire, histoires de tribus queue) $X$ est indépendante de $X$ et donc $\forall A$ dans la tribu $P(X\in A, X\in A)=P(X \in A)^2$ et comme à gauche le terme vaut $P(X\in A)$ on a $\forall A$ dans la tribu, $P(X\in A) \in \{0;1\}$. Puis en étudiant la fonction caractéristique de la va réelle positive $||X-a||$ (je suppose que $X$ est à valeurs dans $\R^d$), où $a\in \R^d$, on obtient que $||X-a||$ est pas constante et ceci $\forall a\in \R^d$. Puis on fait de localisation GPS ou Galileo en dimension $d$... tout point est localisable comme intersection d'un nombre fini au plus de sphères qui ne dépend que de $d$, on conclut.
@Lars Je ne vois pas où tu as utilisé les hypothèses de l 'exercice, donc je ne comprends pas. Tu as commencé ton raisonnement par X est indépendante à elle même !
Bonjour, je crois que Lars a donné un contre-exemple, j'avais pensé à quelque chose du même type à savoir considérer une v.a indépendante d'elle-même, mais je n'ai pas réussi à avoir la v.a non constante ou constante. Je n'ai pas tout compris de la démonstration à partir de l'étape GPS, quelle est la définition de localisable? J'imagine que c'est pour faire intervenir des suites ? Mais si tu as réussi à montrer que $X$ n'est pas constante ne suffit-il pas de considérer la suite pour tout $n$ $X_n=X$ qui vérifie toutes les hypothèses étant donné que $X$ est indépendante d'elle-même.
Bonjour, @gebrane si j'ai compris sa démonstration il cherche à trouver une suite $X_n$ qui tend en proba vers $X$ avec $X_n$ indépendant de $X$, pour tout $n$ et $X$ n'est pas constante. Sinon je n'ai pas compris la démonstration.
Bonsoir Il doit y avoir un argument direct que je ne sais pas formuler à partir des tribus associées aux va $X_n$ et $X$ pour obtenir directement l'indépendance de la va $X$ avec $X$. Comme je l'ai indiqué dans mon message je ne sais pas l'écrire. On peut procéder plus manuellement : 1) Quel que soit $A$ borélien de $\R^d,\ P((X, X_n)\in AXA) =P(X\in A)P(X_n \in A) $ (0) hypothèse d'indépendance utilisée, 2) (on munit $\R^dX\R^d$ de la topologie produit, par ex si la distance (issue d'une norme) était $d$ dans $\R^d$ on munit le produit de la distance $D$ somme des distances des " coordonnées"... la tribu borélienne est engendrée par les produits cartésiens d'ouverts etc... il n'y a aucun piège. On a $(X, X_n)$ est une va et elle converge en proba vers la va $(X, X)$ (1) En effet $D((X, X_n), (X, X))=d(X, X)+d(X_n, X)=d(X_n, X)=||X_n-X||$ et comme $\forall \epsilon>0,\ (P(||X_n-X|| \ge \epsilon))_{n\in \N} $ tend vers $0$, lorsque $n$ tend vers l'infini on conclut : (1). 3) Si $A$ est un borélien dont le bord est de mesure nulle, alors par passage à la limite dans (0), (et car convergence en proba implique convergence en loi) $\forall A$ borélien de $\R^d$ de bord de mesure nulle, $P(X, X) \in (A, A)=P(X\in A)^2$ et donc $P(X\in A)=0$ ou $1$. En particulier, $\forall a \in \R^d,\ \forall r>0,\ P(||X-a||<r)=0 $ ou $1$ (la boule ouverte est bien un borélien de bord de mesure nulle). En considérant la fonction de répartition de la va réelle positive $||X-a||$, il existe alors $b\in \R^+$ tel que ps $||X-a||=b$. Le reste, c'est de la géométrie "localisation gps" (sans perte de généralité on peut raisonner avec la norme euclidienne de $\R^d$). Si on veut éviter la géométrie, on raisonne par applications coordonnées qui sont continues :
$\forall i,\ \forall n,\ x_{i, n} $ indépendante de $x_i$ et $\forall i,\ (x_{i, n})$ converge en proba vers $x_i$ d'où en considérant la fonction caractéristique de $x_i$ (et en utilisant le résultat précédent), il existe $c_i\in \R$ tel que ps $x_i=c_i$ et comme c'est vrai pour tout $I$ et qu'un nombre fini d'ensembles (de la tribu) de mesure (proba) nulle est nulle, ps $X=$ le vecteur $(c_i)$.
Ps j'aurais dû mettre en majuscule les $x_{i,n}, x_n$
Du coup je précise ce que j'entends par continue : je note $u_i$ l'application de $\R^d$ dans $\R$ qui à un vecteur associe sa i ème coordonnée dans la base canonique de $\R^d$. C'est une application (linéaire) continue et on a $x_{i, n}-x_n=u_i(X_n-X) $ qui avec les théorèmes généraux (je ne connais pas le nom de ce théorème : à vérifier j'ai en tête continue bornée (*) ) converge en proba vers $u_i(0)=0$.
(*) Si les hypothèses de ce théorème (nom ?) ne s'appliquent pas, on procéde autrement en utilisant la norme infinie de $\R^d$ et en utilisant l'inégalité $\forall i, n, |u_i(X_n-X)|\le ||X_n-X||_{\infty} $ pour montrer la convergence en proba directement en revenant à la définition.
Je rappelle rapidement comment montrer la "loi du 0-1" de Kolmogorov. C'est une conséquence du lemme de classe monotone.
Soit $(X_n)_{n\in \N}$ une suite de VA indépendantes, pour tout $n\in \N$ soit $\sigma(X_k, k\geq n)$ la plus petite tribu rendant mesurables les $(X_k)_{k\geq n}$ et enfin soit $\mathcal Q:= \bigcap_{n\in \N} \sigma(X_k, k \geq n)$ (édité). Soit $A\in \mathcal Q$. Soit $\mathcal T_A:= \{B \in \sigma(X_n, n\geq 0) \mid P(A \cap B ) = P(A) P(B )\}$. Alors:
2°) Pour tous $E,F\in \mathcal A,$ si $E,F\in \mathcal T_A$ et si $E\subseteq F$ alors $F\backslash E \in \mathcal T_A$ (calculs).
3°) Pour toute $(G_n)_{n\in \N}\in \mathcal T_A^{\N}$ croissante pour l'inclusion, $\bigcup_{n\in \N} G_n \in \mathcal T_A$ (calculs/limites).
4°) $\bigcup_{n\in \N} \sigma(X_k, k\in \{0,1,...,n\})$ est stable par intersection finie.
Le lemme de classe monotone entraîne alors immédiatement l'inclusion $\sigma(X_n, n\geq 0) \subseteq \mathcal T_A$. Par suite n'importe quelle variable aléatoire $\sigma(X_n, n\geq 0)$-mesurable est indépendante de $\mathcal T_A$ d'où le résultat visé.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Réponses
$P(X\geq a)=\int_a^{+\infty} f(x) dx$ avec $f(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$. On a $f'(x)=-xf(x)$, d'où
$P(X\geq a)=\int_a^{+\infty} \frac{xf(x)}x dx\le \int_a^{+\infty} \frac{xf(x)}a dx =-\frac 1a \int_a^{+\infty} f'(x) dx=\frac 1a\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{a^2}2}$
On demande de prouver P(X = 0) ≤ 1-E(X)²/E(X²) ou d'une manière équivalente P(X $\ne$ 0) $\ge$ E(X)²/E(X²) Mystère !
B-T et $\{X=0\} \subset \{|X-EX|\ge |EX|\} $
Il me semble avoir déjà vu ce résultat Soit {Xn} une suite de variables aléatoires indépendantes convergeant presque sûrement vers une variable aléatoire X. Alors X est presque sûrement une constante.
Maintenant si une suite converge en proba alors il existe une sous-suite qui converge presque sûrement, donc on conclut ? que X est constante p.s (en disant que si Xn et X indépendantes pour tout n ∈ N, alors les variables aléatoires {Xn} sont indépendantes ?).
À justifier (je ne sais plus faire, histoires de tribus queue) $X$ est indépendante de $X$ et donc $\forall A$ dans la tribu $P(X\in A, X\in A)=P(X \in A)^2$ et comme à gauche le terme vaut $P(X\in A)$ on a $\forall A$ dans la tribu, $P(X\in A) \in \{0;1\}$.
Puis en étudiant la fonction caractéristique de la va réelle positive $||X-a||$ (je suppose que $X$ est à valeurs dans $\R^d$), où $a\in \R^d$, on obtient que $||X-a||$ est pas constante et ceci $\forall a\in \R^d$.
Puis on fait de localisation GPS ou Galileo en dimension $d$... tout point est localisable comme intersection d'un nombre fini au plus de sphères qui ne dépend que de $d$, on conclut.
l 'exercice, donc je ne comprends pas. Tu as commencé ton raisonnement par X est indépendante à elle même !
Il doit y avoir un argument direct que je ne sais pas formuler à partir des tribus associées aux va $X_n$ et $X$ pour obtenir directement l'indépendance de la va $X$ avec $X$. Comme je l'ai indiqué dans mon message je ne sais pas l'écrire.
On peut procéder plus manuellement :
1) Quel que soit $A$ borélien de $\R^d,\ P((X, X_n)\in AXA) =P(X\in A)P(X_n \in A) $ (0) hypothèse d'indépendance utilisée,
2) (on munit $\R^dX\R^d$ de la topologie produit, par ex si la distance (issue d'une norme) était $d$ dans $\R^d$ on munit le produit de la distance $D$ somme des distances des " coordonnées"... la tribu borélienne est engendrée par les produits cartésiens d'ouverts etc... il n'y a aucun piège.
On a $(X, X_n)$ est une va et elle converge en proba vers la va $(X, X)$ (1)
En effet $D((X, X_n), (X, X))=d(X, X)+d(X_n, X)=d(X_n, X)=||X_n-X||$ et comme $\forall \epsilon>0,\ (P(||X_n-X|| \ge \epsilon))_{n\in \N} $ tend vers $0$, lorsque $n$ tend vers l'infini on conclut : (1).
3) Si $A$ est un borélien dont le bord est de mesure nulle, alors par passage à la limite dans (0), (et car convergence en proba implique convergence en loi)
$\forall A$ borélien de $\R^d$ de bord de mesure nulle, $P(X, X) \in (A, A)=P(X\in A)^2$ et donc $P(X\in A)=0$ ou $1$.
En particulier, $\forall a \in \R^d,\ \forall r>0,\ P(||X-a||<r)=0 $ ou $1$ (la boule ouverte est bien un borélien de bord de mesure nulle).
En considérant la fonction de répartition de la va réelle positive $||X-a||$, il existe alors $b\in \R^+$ tel que ps $||X-a||=b$.
Le reste, c'est de la géométrie "localisation gps" (sans perte de généralité on peut raisonner avec la norme euclidienne de $\R^d$).
Si on veut éviter la géométrie, on raisonne par applications coordonnées qui sont continues :