Test d'hypothèses

malavita

Bonsoir à tous,
je désire effectuer un test d'hypothèse relatif à la moyenne d'une variable aléatoire $X$, qui suit une loi normale d'écart type $\sigma$ inconnu. Je note $H_0 : m=m_0$ et $H_1 : m=m_1$ mes hypothèses, $(x_1,\ldots,x_n)$ le résultat de mon échantillonnage.

Suivant la méthode de Neyman et Pearson, je calcule le quotient de mes fonctions de vraisemblances et arrive à une condition de test du type $$\overline{x}_n \geq C.$$ En notant $\overline{x}_n$ l'estimation de ma moyenne. Sous $H_0$ la loi de cet estimateur étant une loi normale d'écart type $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Je suis donc ennuyé pour déterminer $C$, qui ressemble à un truc du genre $m_0+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Pour contourner cette difficulté, le corrigé propose après avoir suivi cette méthode, d'utiliser l'estimateur :$$\sqrt{n}\,\frac{\overline{x}_n-m_0}{S_n}$$ qui suit une loi de Student d'ordre $n-1$, où $S_n$ désigne un estimateur de l'écart type de $X$. La zone critique est alors déterminée par les centiles de cette loi de Student.

Du coup, je ne comprends pas l'intérêt de faire tout ce cirque avec Pearson and co...pourquoi n'utilise-t-on pas directement l'estimateur "Student" ?
Bonne soirée
F.

gebrane

Bonjour,
Peux-tu joindre le document pour que @gerard0 jette un coup d'œil  c'est un spécialiste en statistiques 

malavita

malavita

Voilà,
je pense avoir compris la correction. Ce qui me gène, c'est que dans cet exercice le correcteur s'autorise à utiliser l'estimateur "qui l'arrange" sans plus de justifications... À la limite pourquoi pas, mais alors pourquoi dans d'autre cas s'ennuyer avec toutes ces histoires de quotient de vraisemblances, alors qu'il suffirait de dire sous $H_0$, la loi de telle statistique est connue et on peut donc construire simplement un test d'hypothèses.
A+
F.

gebrane

Tu as bien fait de joindre le document car ton Hypothèse alternative H_1 a changée 

gebrane

Peux-tu joindre l'exercice précèdent pour comprendre ce qui a changé comme hypothèses avec la solution proposée

malavita

malavita

Dans l'exercice précédent, $\sigma$ était connu.

Deux petites questions annexes, sans doute triviales et qui ne mérite donc pas l'ouverture d'un nouveau fil:

1) si je dispose d'une suite $X_1,\cdots,X_n$  de v.a. i.i.d. de loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma)$, on peut définir l'estimateur sans biais de la variance par : $$S_n=\frac1{n-1} \sum_{k=1}^n (X_k-\overline{X})^2.$$

La v.a. $\frac{n}{\sigma^2} S_n$ suit alors une loi du $\chi_2$ à $n-1$ degrés de libertés ? Ce $n$ me semble incongru...pour obtenir ce résultat, j'ai tout simplement calculer l'espérance et la variance de $X_k-\overline{X}$ afin de revenir à la définition de la loi du $\chi_2$ et ramener ma somme à une somme de  carré variables aléatoires de loi normale centrée réduite.

2) si je dispos d'une suite $X_1,\cdots,X_n$  de v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $p$, un estimateur de $p$ est $\widehat{p}=\overline{x}$ et l'estimateur sans bais de la variance est $\frac{n}{n-1} \widehat{p} (1-\widehat{p})$.

Pour $n$ grand, la loi de $\overline{X}$ est approchée par une loi normale de paramètres $p$ et $\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$. Si l'on cherche à estimer les paramètres de cette loi, vu que $n$ est grand on peut se dispenser du facteur de correction de biais $\frac{n}{n-1}$ et estimer $p(1-p)$ par  $ \widehat{p} (1-\widehat{p})$ ?

Du coup, la variable aléatoire $\frac{\overline{X})-p}{\sqrt{p(1-p)}}$ suit asymptotiquement une loi normale centré de variance $\frac1{n}$.
Merci et bonne journée
F.

gebrane

Pour cette question

Malavita : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2332008/test-dhypotheses
Du coup, je ne comprends pas l'intérêt de faire tout ce cirque avec Pearson and co...pourquoi n'utilise-t-on pas directement l'estimateur "Student" ? 

La question de l'exercice 9 demande le test le plus puissant. Une lecture si tu as un doute que le test le plus puissant est le test de Neyman-Pearson  https://www.readinganswer.fr/pourquoi-le-lemme-de-neyman-pearson-est-il-le-test-le-plus-puissant/
Pour ta deuxième question je ne comprends pas le sens de "Ce n me semble incongru"

malavita

Bonjour Gerbrane, merci de ta réponse.
Donc dans les faits, on utilise la méthode de Neyman-Pearson pour obtenir des tests de puissance optimale. Dans mon exemple, comme on ne connait pas $\sigma$, on ne peut utiliser ce test et on en fait donc un autre pour lequel on n'a pas d'informations a priori sur la puissance ? C'est ça ?

Pour la seconde ce $n$ ne semble incongru car naïvement, j'aurais dit que $\frac{S_n^2}{\sigma^2}$ qui suivait une loi du $\chi_2$. Du coup, on peut bien dire que $n \frac{S_n^2}{\sigma^2}$ suit une loi du $\chi-2$ à $n-1$ degrés de liberté ?
A+
F.

gebrane

Pour ta deuxième question ni l'un ni l'autre.
Étant donné $X_1,\dots ,X_n $ des iid qui suivent $N(\mu,\sigma^2)$, la variable aléatoire $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$$ a une distribution $\chi^2$ avec $(n-1)$ degrés de liberté, où $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(X_i- \bar{X})^2.$$

malavita

Ok, je vais y réfléchir ;-)
Merci et bonne soirée !
F.