Topologies qui coïncident et voisinage

Barjovrille

Bonjour, j'ai un problème de compréhension sur la démonstration suivante.

Soit $X$ un ensemble soient $\tau_1$ et $\tau_2$ deux topologies sur $X$ le but est de montrer que $\tau_1$ et $\tau_2$ coïncident.

Dans la démonstration on considère $x_0 \in X$ et $V_1$ un voisinage de $x_0$ pour $\tau_1$ on montre qu'il existe $V_2$ un voisinage de $x_0$ pour $\tau_2$ tel que $V_2 \subset V_1$.
Puis on fait la même chose dans "l'autre sens" on prend $W_2$ un voisinage de $x_0$ pour $\tau_2$ et on montre qu'il existe $W_1$ un voisinage de $x_0$ pour $\tau_1$ tel que $W_1 \subset W_2$. Et après la démonstration est finie.

Je n'ai pas compris pourquoi cette démonstration montre que les deux topologies coïncident ?
ps : si vous avez des références sur la topologie en général qui parle de ces histoires de voisinages je suis preneur.

Positif

Parce que tu pourras écrire chaque ouvert $V_2$ de $\tau_2$ comme une réunion de voisinages de la forme $v(x), x \in V_2, v(x) \in \tau_1$. Ainsi, tu aurais $V_2 = \bigcup_{x \in V_2} v(x) $ avec chaque $v(x) \in \tau_1$, et pareil dans l'autre sens.

Barry

Prend $\Omega_1$ un ouvert de $(X,\tau_1)$. Cela signifie que pour tout $x \in \Omega_1$, il existe un voisinage $V$ de $x$ pour la topologie $\tau_1$ tel que $V \subset \Omega_1$. Mais $V$ étant un voisinage pour la topologie $\tau_2$, cela signifie que pour tout $x \in \Omega_1$, il existe un voisinage $W$ de $x$ pour la topologie $\tau_2$ tel que $W \subset \Omega_1$ et donc les ouverts de $(X, \tau_1)$ sont des ouverts de $(X, \tau_2)$.
Pour les références en topologie générale, il y a, par exemple, le livre de Nawfal el Hage Hassan qui est excellent.

Barjovrille

J'ai l'impression que vous avez inversé la relation entre voisinage et ouvert non? C'est plutôt si $V$ est voisinage de $x$ alors il existe un ouvert $U$ contenant $x$, tel que $U \subset V$. Mais finalement j'ai trouvé la réponse dans le livre conseillé par Barry, la démonstration repose sur un des axiome de voisinage ie toute partie de $X$ qui contient un voisinage de $x$ est un voisinage de $x$. La démonstration montre alors que les voisinage de $x$ pour $\tau_1$ sont des voisinages de $x$ pour $\tau_2$ et pareil dans l'autre sens. Ainsi $\tau_1$ et $\tau_2$ ont les mêmes voisinages et on peut définir une topologie en utilisant uniquement les voisinages. On retrouve le lien avec les ouverts en disant que les ouverts sont les parties de $X$ qui sont voisinages de tout leur points. En tout cas merci pour vos réponses et pour la précieuse référence.

Barry

Non, après tout un ouvert est voisinage de chacun de ses points (je suis de mauvaise foi, je le sais !). Désolé pour l'erreur, j'avais bien inversé !