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$f$ bornée et $\mathcal{C}^2$, existe-t-il $x$ tel que $f''(x) = 0$ ?

Modifié (October 2022) dans Analyse
Supposons f bornée et f C^2, existe-t-il un x tel que f''(x) = 0 ?
Je suis bloqué. Je voulais utiliser le théorème de Taylor avec reste. Mais je doute que cela puisse marcher. La dérivée seconde n'étant pas forcément bornée.
J'aimerais montrer qu'il existe 2 valeurs distinctes telles que la dérivée des 2 donne une même valeur puis utiliser le théorème de Rolle. Mais je doute que cela soit une façon simple.
Merci de votre aide !
[Michel Rolle (1652-1719) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses

  • J'ajoute que je pense que cela est le cas. J'ai simulé avec pleins de fonctions. Et cela me semble vrai !
  • Modifié (October 2022)
    Il faut préciser l'intervalle. As-tu un contre-exemple sur $\R^+$ ou $\R^-$ ? Bon, il est donc nécessaire de prendre $\R$ entier.
    Si $f''$ ne s'annule pas, que dire de son signe ? des variations de $f'$ ? du signe de $f'$ sur des intervalles $\left]-\infty,a\right[$ et $\left]b,+\infty\right[$ pour $a$ assez petit et $b$ assez grand ? Ne peux-tu pas en déduire que $f$ n'est pas bornée ?
  • P.2P.2
    Modifié (October 2022)
    Si $f''$ ne s'annule pas, alors $f$ ou $-f$ est strictement convexe. Si tu dessines une fonction convexe tu vois s'il est possible ou non qu'elle soit bornée suivant l'intervalle de définition : segment, demi-droite ou droite entière. Le fait que $f'$ (ou -$f'$) soit strictement croissante est une grosse contrainte qui te permet de répondre facilement sans avoir besoin d'utiliser des théorèmes locaux comme Rolle ou Taylor.
  • Si $f$ est bornée et $\mathcal C^1$, $0$ est valeur d'adhérence de $f'(x)$ quand $x\to +\infty$ et aussi quand $x\to -\infty$ (pourquoi?). Cela entraîne l'existence d'un extremum local pour $f'$.
  • Ok je comprends les idées. Quand j'y pense, on peut alors supposer que f est juste 2 fois dérivable via la convexité !
  • P.2P.2
    Modifié (October 2022)
    O esprit confus.  Le fait que $f$ est deux fois continument dérivable résulte de l’hypothèse.
    Allez.
    Proposition. Soit $f$ de classe $C^2$ sur tout $\R$ et bornée. Alors il existe un $x_0$ tel que $f''(x_0)=0.$
    Démonstration. On raisonne par l'absurde en supposant que $f''$ ne s'annule jamais.
    1) Pourquoi f'' est elle de signe constant ?
    2) Pourquoi existe-t-il un $a$ tel que $ f'(a)\neq 0$ ?
    3) Soit $g(x)=f(x) -f(a)-(x-a)f'(a)$. Pourquoi $g$ est-elle de signe constant ?
    4) Déduire du 3) que $f$ n'est pas bornée.
  • Modifié (October 2022)
    Oh mais j'avais bien compris l'idée ! C'est juste que je me demandais si cela reste vrai si $f$ est uniquement $2$ fois dérivable.
    Maintenant que je me relis, on a pu mal me comprendre ! Mais, je découvre que dans un cas comme tel la convexité ne marche pas.
    Est-ce qu'il existe un $x_0$ tel que $f''(x_0)=0$ ? (Juste pour uniquement deux fois dérivable).
  • Oui, c'est le théorème de Darboux qui permet de traiter ce cas facilement.
  • Je ne connaissais pas ce théorème et maintenant que je connais son énoncé et sa démonstration, le cas devient très facile !

    Merci !
  • Modifié (October 2022)
    Si $f"$ ne s'annule sur $\R$ jamais alors $f$ ou $-f$ est convexe sur $\R$. Un résultat classique d'analyse dit qu'une  fonction  bornée convexe sur tout  $\R$ est constante  sur $\R$.
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Message initial avec un implicite trop important pour la question posée : $C^2$ sur quoi ? Cela a peut-être été précisé par la suite, mais ça mériterait de l'être dans l'énoncé de départ.
  • Modifié (October 2022)
    Bonsoir,
    sans le théorème cité plus haut, si on suppose juste $f$ 2 fois dérivable.
    Si $f''$ ne s'annule jamais, alors par Rolle, $f'$ est injective, et comme (par hypothèse) $f'$ est par ailleurs continue, elle est donc strictement monotone donc convexe ou concave...etc
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