Continuité mise à prix

gebrane

J'en profite ce dimanche car la connexion est très fluide

Proposition2.  Soit $K$ un  compact de $\R$, et soit $(f_n)_{n\geq1}$ une suite de fonctions  $f_n~:~K\to{\mathbb R}$ satisfaisant $\lim_{n\to \infty}f_n(x_n)=f(x)$ chaque fois que la suite $(x_n)_{n\geq1}$ est convergente vers un certain $x\in K$. Alors $f$ est continue sur $K$.

Preuve 
Soit $x\in K$, et  $( x_n)$ une suite d'éléments de $K$  convergente vers $x$,

$\forall \epsilon >0$, il existe une suite strictement croissante $n_k$ telle que

$|f_{n_k}(x_k)- f(x_k)|< \epsilon /2$. Puisque (facile à voir) $\lim_{k\to +\infty} f_{n_k}(x_k) = f(x),$,  il existe $k_{\epsilon}$   tel que $|f_{n_k}(x_k)- f(x)| <\epsilon /2$ pour tout $ k \geq k_{\epsilon}$.
La continuité de $f$ en $x$ s'ensuit par : $|f(x_k)- f(x)| \leq  |f(x_k)- f_{n_k}(x_k)| + |f_{n_k}(x_k)- f(x)| < \epsilon$, pour  tout $k \geq k_{\epsilon}$

Vraie ou faux 

Cyrano

Qui est $X$ ?

gebrane

corrigé, merci @Cyrano je n'ai pas donné tous les détails pour semer le doute sinon la question n'aura pas sa place au shtam 

Calli

Bonjour,
La démonstration fonctionne, mais elle serait plus compréhensible avec plus de justifications. Il faudrait notamment dire sur quelles suites on applique l'hypothèse. Et je fais remarquer que l'hypothèse de compacité n'a pas été utilisée.

Une autre façon snob de voir les choses grâce à la notion de $\Gamma$-convergence : 
$(f_n)$ $\,\Gamma$-converge vers $f$ et $(-f_n)$ $\,\Gamma$-converge vers $-f$. Or toute $\Gamma$-limite est s.c.i. (semi-continue inférieurement). Donc $f$ et $-f$ sont s.c.i., donc $f$ est continue.

Foys

Pourquoi ce sujet est-il dans shtam ?

[C'est l'auteur initial qui l'y a mis. AD]

gebrane

Bonsoir @Calli J'ai laissé deux points sans justifications pour pouvoir proposer cette question au shtam . C'est une récréation mathématiques. Pour la compacité , chacun est libre de l'utiliser ou non. Je pense que tu n'as pas suivi  ce fil  tordu ainsi que Foys  https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2331882/convergence-uniforme-et-continuite#latest