Concours interne Math ITPE

renaudecrin

Sur la partie ci-dessous, sur les probabilités, je souhaiterais savoir si mes réponses sont correctes.
Exercice.
La probabilité d'un événement A est notée P(A), et pour tout événement B vérifiant P(B) ? 0, on note PB(A) la probabilité de A sachant B.
L'événement contraire d'un événement A sera note A/
Dans tout cet exercice n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On dispose de deux urnes U1 et U2 indiscernables contenant chacune n boules indiscernables au toucher.
L'urne U1 contient (n-1) boules blanches et une boule noire.

L'urne U2 contient n boules blanches.

A - Temps d'attente dans l'urne 1
On effectue des tirages sans remises dans l'urne U1, jusqu'à l'obtention de la boule noire.
On note T la variable aléatoire qui prends pour valeur le nombre de tirages nécessaires pour l'obtention de la boule noire.
On notera pour tout entier i E [1,n], N, l’événement on tire une boule noire lors du i-ème tirage.
1- Rappeler la formule des probabilités composées.
2 - En écrivant soigneusement les événements utilisés, calculer P(T=1), P(T=2) et P(T=3).
3- Déterminer la loi de variable aléatoire T.
4 - Préciser le nombre de moyen de tirages nécessaires à l'obtention de la boule noire.

Mes réponses.
1 - Soient A1,…,Am des événements tels que P(A1∩⋯∩Am)≠0. Alors : P(A1∩⋯∩Am)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)⋯P(Am|A1∩⋯∩Am−1).

2-
P(T=1) = 1/n
P(T=2) = 1/n
P(T=3). = 1/n
Sont-ce bien les résultats attendus, je suis surpris !

3 - Loi de variable aléatoire
P(T=i) = 1/n (indépendant de i.

4- Je ne sais pas répondre à cette question, please help.
Merci de votre aide.

lourrran

Pour la question 2, on te demande de bien expliquer ..., là, tu as juste balancé un résultat.

Ok pour les réponses aux 3 premières questions.
Pour la 4, tu peux regarder ce que ça donne pour n=2, ou n=3 
Cette question est relativement simple. Si tu galères sur cette question, je ne vois qu'une explication, tu nous pipotes, tu as recopié les réponses aux premières questions, sans rien y comprendre.

 C'est quand on va se mettre à parler des 2 urnes que ça va se corser !

renaudecrin

Bonjour
Merci de votre retour.

Pour la question 2:
P(T=1) = 1/n correspond à une chance sur n de tirer la boule noire sur un tirage
P(T=2) = 1/n selon un arbre avec au premier tirage n-1 chances sur n multiplié par 1 chance sur n-1 soit un sur n
P(T=3). = 1/n selon la meme logique que précédemment.

Pour la question 4, il s'agit de l'espérance qui est donc Sigma des 1/n soit n(n+1)/2.

Vassillia

Bonjour, attention à écrire correctement la formule de l’espérance, ce n'est pas la somme des 1/n et ton résultat final n'est ni la somme des 1/n ni le nombre moyen demandé, tu as vraisemblablement oublié de mettre quelque chose en facteur.
Il y a de toute façon quelque chose qui aurait du t’interpeler, on sait que les valeurs possibles de T sont comprises entre 1 et n donc l’espérance de T est forcément comprise entre 1 et n or ce n'est pas le cas dans ce que tu proposes.

renaudecrin

Merci encore.

L'espérance c'est quand on pense un jour qu'on va y parvenir.
Donc
E(X)=1*1/n+2*1/n+3*1/n+...+n*1/n
E(X)=(1/n)*n*(n+1)/2
E(X)=(n+1)/2

Euréka ?

renaudecrin

??

Vassillia

Comme Archimède en son temps, tu peux t'exclamer Eurêka, c'est exact