Sous-groupe distingué

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Bonjour,

J'aimerais connaître l'histoire derrière la notion de "sous-groupe distingué" et les caractérisations peu connues si vous en avez.

Cordialement 

Magnéthorax

L'histoire ? Un algébriste français s'adresse à un collègue anglais : "Comment se fait-il que ce qui est normal chez vous se trouve être distingué chez nous ?". 

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😆 bien trouvé 

Poirot

Pour les caractérisations, je ne sais pas ce que tu considères peu connu, mais on peut dire que les sous-groupes distingués du groupe $G$ sont à l a fois les noyaux des morphismes de source $G$, et (quand $G$ est fini) les intersections des noyaux des représentations irréductibles de $G$.

Tout sous-groupe caractéristique de $G$ (stable par tout automorphisme de $G$) est évidemment caractéristique. En particulier un sous-groupe de $G$ qui est le seul d'un cardinal donné est nécessairement distingué dans $G$. Ça vaut en particulier pour les $p$-Sylow de $G$.

Sinon, il y a l'exercice classique qui consiste à dire que si $G$ est fini tel que $p$ est le plus petit nombre premier divisant $|G|$ alors tout sous-groupe d'indice $p$ dans $G$ est distingué. En particulier, un sous-groupe d'indice $2$ est toujours distingué.

Fin de partie

Recenser des théorèmes qui permettent de conclure qu'un sous-groupe est normal serait intéressant en effet.

Soit $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe, si le cardinal de l'ensemble $G/H$ est $2$, alors $H$ est distingué dans $G$.(*)

(dans le cas où $G$ est d'ordre fini c'est un cas particulier d'un théorème dont je n'arrive jamais à me rappeler l'énoncé)

NB: $G/H$ est l'ensemble des classes à gauche suivant $H$.

(*) Je ne pense pas qu'on ait besoin de supposer que $G$ est d'ordre fini.

PS.
La notion de groupe distingué se trouve certainement dans les mémoires de Galois.

Math Coss

En effet, si $G/H$ est de cardinal $2$, il est distingué puisque pour $g$ dans $G$ qui n'appartient pas à $H$, les classes à gauche et à droite $gH$ et $Hg$ sont toutes deux le complémentaire de la classe du neutre $H$. Ici, $H$ et $G$ peuvent être d'ordre quelconque.

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Merci beaucoup à tous. Sinon, c'est donc Evariste Galois qui a découvert la notion de "sous-groupe distingué" ?

@Poirot il est vrai que l'expression "peu connu" est subjective.

edit. J'avais oublié le mot "distingué".

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Soit $G$ un groupe, soit $G'$ un sous-groupe de $G$, considérons la formule suivante:

$\forall q \forall q' \forall p \forall p' ((q\in G \wedge p\in G \wedge q'\in G \wedge p'\in G \wedge qG'=pG' \wedge q'G'=p'G')\implies qq'G'=pp'G')$

Il se trouve qu'elle est équivalente à "$G'$ est un sous-groupe distingué de $G$".

Du coup je me demande ce qui devait passer par la tête de celui qui a découvert la notion de sous-groupe distingué, est-il parti de cette formule, ou est-il parti de la formule classique ...

Cette formule caractérise les sous-groupes sur les classes-à-gauche des-quels on peut définir la composition.

Fin de partie

@cohomologies: Ce n'est pas Evariste Galois qui a isolé, me semble-t-il le concept de sous-groupe distingué contrairement à mon impression initiale. Il n'a pas utilisé à proprement parler de groupes au sens où on l'entend aujourd'hui. Il utilise le mot groupe mais dans son acceptation courante je pense: collection d'objets de même nature. Il y a un mélange, me semble-t-il aussi dans l'utilisation des concepts de substitutions et de permutations (j'ai l'impression que bien qu'il donne des définitions il utilise l'un pour l'autre)

Un extrait de son mémoire, Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux.

nicolas.patrois

Peut-être ici ?

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Development_group_theory/

Magnéthorax

@cohomologies : "Du coup je me demande ce qui devait passer par la tête de celui qui a découvert la notion de sous-groupe distingué" : je dirais tout bêtement : "A quelle condition sur H sous-groupe de G, le quotient G/H muni de tmtc est-il un groupe ?" 

Dom

Oui, c’est ce que je me dis. 

Avec les entiers (et les groupes commutatifs) les lois passent au quotient alors « qu’est-ce qu’il faudrait exiger pour que ça le fasse sans forcément être commutatif ? ». 

C’est ce qui me semble le plus naturel mais je n’ai pas de connaissances sur ce sujet.  

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Merci à tous, c'est très riche les informations que vous avez partagé. Il semble que c'est bien Galois qui parle des sous-groupes distingués le premier, quel génie...

Question subsidiaire : Le quotient d'un groupe $\mathcal M$ par un sous-groupe distingué $N$ de $\mathcal M$ est solution du problème universel suivant: $\pi$ étant la projection de $\mathcal M$ sur $\mathcal M /N$, $\pi$ est un morphisme de groupes et $N\subseteq \ker(\pi)$ et pour tout morphisme $f$ de groupes de source $\mathcal M$ tel que $N\subseteq \ker(f)$, il existe un unique morphisme $\phi :\mathcal M /N \to (but)f$ tel que $\phi \circ \pi =f$.

Pourquoi ne pas s'intéresser à ce problème universel pour les parties quelconques du groupe et ainsi généraliser la notion de quotient à celui d'un groupe par une partie quelconque du groupe ?

(Ainsi, quotienter par une partie quelconque d'un groupe reviendra à quotienter par le sous-groupe-distingué engendré par la partie en question)

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Une caractérisation version théorie des modèles.
On s'intéresse à un groupe $(G,\mu)$ qui sera donc une structure sur le langage $L:=\{+,0,[opposit]\}$, pour chaque élément $g\in G$, on rajoute à $L$ un symbole de fonction qui sera interprété dans $G$ par l'automorphisle intérieur de G décrit par $g$ (c'est à dire $\iota _g$), cela nous donne un langage $L'$ et un enrichissement $(G,\beta)$  de $(G,\mu)$. Les sous groupes distingués de $(G,\mu)$ sont tout simplement les sous-structure de $(G,\beta )$.

Héhéhé

Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-groupe_normal#Histoire

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Merci @Héhéhé

Barjovrille

Bonjour @cohomologies pour ta question subsidiaire ça a déjà été fait pour les anneaux (commutatifs) si tu définis $A$ un anneau et $I$ sous-ensemble quelconque de $A$ tu regardes le foncteur qui envoie un anneau $B$ sur l'ensemble des morphismes de source $A$ de but $B$ qui s'annulent sur $I$, ce foncteur est représentable, et $(A/<I>,$ projection associée$)$ est solution du problème universel. ($<I>$ idéal engendré par $I$), pour le cas des groupes il faut faire attention à garder la structure de groupe en passant au quotient (donc il fallait bien préciser sous-groupe distingué engendré... comme tu l'as fait) mais sinon à part ça je pense on raisonne par analogie.

lourrran

Je n'aime pas la formulation 'qui a découvert les sous-groupes distingués'.

Personne n'a découvert les sous-groupes distingués.
Quelqu'un a considéré que telles et telles propriétés, ça donnait un ensemble consistant, et ce serait utile de donner un nom aux sous-groupes qui ont ces propriétés. Ce quelqu'un a donné un nom. Un autre matheux autre part a peut-être donné un autre nom, plus ou moins à la même époque.

En tout cas, l'utilité de nommer de façon spécifique les sous-groupes qui avaient ces propriétés a fait consensus, et un nom est resté. 

C'est comme pour les triangles isocèles, personne n'a découvert les triangles isocèles. Le fait de donner un nom particulier aux triangles ayant 2 côtés égaux s'est imposé au fil des siècles, et c'est le mot 'isocèle' qui a été retenu.
Pareil pour les nombres premiers, c'est quand même bien pratique que ces nombres particuliers aient un nom spécifique.

Héhéhé

Je ne vois guère de différence entre "découvrir un concept" et "remarquer un truc spécifique et lui donner un nom".

Seirios

Un site utile pour ce genre de question est Earliest uses of some words of mathematics. 

NORMAL SUBGROUP. According to Kramer (p. 388), Galois used the adjective "invariant" referring to a normal subgroup.

According to The Genesis of the Abstract Group Concept (1984) by Hans Wussing, "The German Normalteiler (normal subgroup) goes back to H Weber , Lehrbuch der Algebra, vol. 1, Braunschweig, 1895. p.511 and is possibly linked to Dedekind's term Teiler (divisor), which was employed in ideal theory" [Dirk Schlimm].

Normal subgroup is found in English in 1908 in An Introduction to the Theory of Groups of Finite Order by Harold Hilton: "Similarly, if every element of G transforms a subgroup H into itself, H is called a normal, self-conjugate, or invariant subgroup of G (or 'a subgroup normal in G')."

G. A. Miller writes in Historical Introduction to Mathematical Literature (1916), "In the newer subjects the tendency is especially strong to use different terms for the same concept. For instance, in the theory of groups the following seven terms have been used by various writers to denote a single concept: invariant subgroup, self-conjugate subgroup, normal divisor, monotypic subgroup, proper divisor, distinguished subgroup, autojug."

La notion de sous-groupe distingué était présente chez Galois, ce qui n'est pas vraiment surprenant puisqu'il a introduit la notion de groupe résoluble pour caractériser les équations polynomiales résolubles (!) par radicaux, et que cette notion se définit en utilisant des sous-groupes distingués. Après, la forme n'était pas aussi générale qu'aujourd'hui : Galois ne parlait que de groupes de permutation, la définition moderne de groupe n'apparaît vraiment qu'une cinquantaine d'années plus tard. 

nicolas.patrois

Héhéhé a dit :

Je ne vois guère de différence entre "découvrir un concept" et "remarquer un truc spécifique et lui donner un nom".

Peut-être le platonisme sous-jacent ?

gerard0

Bonjour.

Héhéhé :  ... guère de différence entre "découvrir un concept" et "remarquer un truc spécifique et lui donner un nom"

il y a pourtant une grosse différence entre "découvrir un concept" et "donner un nom à un concept connu, mais non dénominé".

C'est d'ailleurs une des grandes bases de conflit en histoire des sciences :  "Qui a découvert le triangle de Pascal ?". Pascal ? Non, c'est connu antérieurement, et d'ailleurs il ne l'appelait pas ainsi.

Finalement, le sujet de ce fil n'est ni une question de maths, ni d'histoire des maths ! Même si les éléments historiques sont intéressants.

Cordialement.

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Je remercie chacun d'entre vous et je lis vos contributions avec assiduité.

@gerard0 t'es un peu sévère avec le fil, en effet le corps du fil évoque clairement l'histoire de la notion et les caractérisations, donc histoire des mathématiques et mathématiques tout court. mais je respecte ton opinion.

@lourrran pour moi "découvrir les sous-groupes-distingués" c'est trouver une solution du problème universel associé. Si un savant désigne du doigt un objet mathématique solution d'un problème universel, qu'il l'ait fait exprès ou non, je vote pour qu'on dise qu'il a découvert une solution du problème.

L'une des raisons de mon intérêt ici c'est que ce problème universel est quasiment le même qu'on utilise pour la notion de localisation (on ne parle plus de noyau mais de l'image réciproque du groupe des inversibles).

Merci @Barjovrille, ta contribution m'a beaucoup aidé.

@Seirios et @Fin de partie merci pour vos sources sur l'histoire de la notion.

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Est-ce que quelqu'un peut me renseigner sur la raison pour laquelle on a choisi le nom "représentant" pour les représentants de foncteurs ? Est-ce qu'il y a une intuition derrière ce choix de nom ?

Barjovrille

Bonjour, de ce que j'ai compris, je dirais qu'on a choisi le nom représentant parce que tu peux concentrer toutes les informations du foncteur dans un objet (le représentant). Tu peux parler "du" représentant parce que si ton foncteur a deux représentants ils sont isomorphes. Mais je n'ai pas encore beaucoup de recul sur les catégories il y a peut être des réponses plus détaillées.

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Oui, les représentants d'un foncteur de $F:\mathcal C ^{op} \to \mathcal E ns$ où $\mathcal C$ est une catégorie localement petite sont les objets initiaux d'une autre catégorie qui a pour objets les $(X,\alpha)$  où $\alpha \in F(X)$ et les flèches sont les $((X,\alpha),(Y,\beta),g)$  tels que $(g\in Hom_{_{\mathcal C ^{op}}}(X,Y))\wedge ((F(g))(\alpha)=\beta)$

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Mais, peut-on retrouver le foncteur à partir d'un représentant ?

GaBuZoMeu

Un foncteur contravariant $F$ de $\mathcal C$ dans $\mathbf{Ens}$ est représenté par l'objet $X$ de $\mathcal C$ si et seulement si $F$ est isomorphe à $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(\cdot,X)$. Si on a $X$, on a $F$ à isomorphisme près.

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Merci @GaBuZoMeu