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fg-gf=id (espaces vectoriels normés)

Bonsoir,

Un exercice de MP:
On se place sur un espace vectoriel normé $E$.
Prouver qu'il n'existe pas d'endomorphismes $f, g$ continus vérifiant $f\circ g - g\circ f = Id$

Je sèche complètement… quelqu'un a une piste ?
Mots clés:

Réponses

  • En dimension finie on pourrait considérer la trace.
  • Modifié (October 2022)
    Soient $f$ et $g$ des endomorphismes continues de $E$. Notons comme c'est l'usage $[f,g]=f\circ g - g\circ f$ le commutateur de $f$ et $g$. On suppose par l'absurde que $[f,g] = \operatorname{id}_E$.

    (1) Montrer que $[f,g^n] = n\,g^{n-1}$ pour tout entier $n \geqslant 1$.

    (2) Aboutir à une contradiction en prenant la norme d'opérateur.

    C'est quand même particulièrement raide sans indication si on ne l'a jamais vu...
  • Merci beaucoup j'essaye avec ça !
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