Une équation entre entiers

S0_

Titre initial "L'équation (3^a)[(3^b)-1]=[(2^c)-1](2^d)"

[Le titre doit être clair et informatif. Le corps du message est là pour les précisins. AD]

b et d sont des entiers naturels je voudrais avoir une résolution dans IN².

JLapin

Peux-tu mettre l'énoncé dans le corps de ton message et préciser le contexte de ta question (exo ? DM ? quel niveau ?) stp ?

gebrane

Il veut une solution dans $\N$ donnons-lui  une.   Tu prends b=c=0 et a et d comme tu veux 

Médiat_Suprème

Il y a aussi (1, 1, 2, 1), mais bon, c'est dans $\mathbb N^4$ et pas $\mathbb N^2$ 

S0_

Bonjour gebrane

C'est une résolution je veux...
Pas une solution et de plus b et d sont donnés mais les inconnus sont a et c

S0_

Bonjour Jlapin 
Les données sont b et d des entiers et les inconnus sont a et c dans IN

gebrane

Tu n'as pas répondu, est ce un devoir?

verdurin

Bonsoir,

de chaque côté du signe « = » on a le produit d'un nombre pair par un nombre impair.

À quelle condition ces produits peuvent-ils être égaux ?

etanche

https://math.stackexchange.com/questions/530564/are-differences-between-powers-of-2-equal-to-differences-between-powers-of-3-inf?noredirect=1

S0_

Bonsoir verdurin

Oui je donne b et d comme des entiers naturels et je voudrais résoudre l'équation à inconnu (a,c) dans IN²...

verdurin

Pour qu'il existe une solution il faut que $b=d=0$ ou que $3^b-1=2^d$.

Tu peux penser à une décomposition en facteurs premiers des deux côtés de l'égalité pour en voir la raison.

gebrane

@verdurin il faut revoir ton raisonnement .

Bibix

Euh... par exemple, on a $(a,b,c,d) = (1, 4, 4, 4)$ qui donne $3^b - 1 = 80 \neq 2^d$ mais qui donne bien $3^a (3^b - 1) = (2^c - 1)2^d$.

Julia Paule

Ce n'est pas parce qu'un nombre est pair et l'autre impair que ces deux nombres sont premiers entre eux ...

lourrran

b et d sont donnés.
Soit, 
Si par exemple b=3 ... visiblement pas de solution.
Si b=4, Bibix vient de donner une solution
Si b=5 visiblement pas de solution.

En fait, on peut voir l'exercice comme une équation avec 2 paramètres b et d, et 2 inconnues a et c.
Ou comme une équation avec 4 inconnues a,b,c et d.

gebrane

dommage que etanche a cassé la baraque, il y a ceux qui cherchent à monter un raisonnement  et ceux qui cherchent un lien  

S0_

Bonjour lourran

L'équation est à deux paramètres b et d 
Et est deux inconnus a et c...

gerard0

Tu as eu une réponse assez détaillée, qui montre bien que ce n'est pas évident.

Pourquoi poses-tu cette question ?

S0_

Bonjour gerardo

Je pense que le problème n'est pas pour une classe de seconde au lycée au point où il faut donner une réponse comme tu le dis...
Je voudrais une résolution et si tu ne peux pas c'est pas pour ça que d'autres ne pourront pas...

Bibix

Bonjour,
Dans le cas de S0_, c'est en fait assez simple.
Si $2^d$ ne divise pas $3^b - 1$, alors il n'y a pas de solution.
Si $2^d$ divise $3^b - 1$, on pose $3^b - 1 = 2^d k$. Alors on a $3^a k = 2^c - 1$. Dans ce cas, si $c = 0$, alors $k = 0$ donc cela donne une solution ssi $b = 0$ (et dans ce cas, tout $a \in \mathbb{N}$ convient). Si $c \neq 0$, $k$ est nécessairement impair et $k$ est déterminé de manière unique par $3^b-1 = 2^d k$. Donc si $2^{d + 1}$ divise $3^b - 1$, il n'y a pas de solution non plus. À partir de là, il n'y a plus qu'à chercher le problème $3^a k = 2^c-1$ d'inconnue $(a,c)$ avec $c \geqslant 1$.
Pour résoudre de manière exacte efficacement ce problème, il faut définir $\psi(n)$ qui est le plus petit entier $m \geqslant 1$ tel que $2^m \equiv 1 [n]$. Alors si le couple $(a,c)$ est solution, $\psi(3^a)$ divise $c$.
Par exemple, si $a \geqslant 1$, $\psi(3) = 2$, donc $c$ est pair.
Si $a \geqslant 2$, $\psi(9) = 6$ donc $c$ est divisible par $6$, etc... .
Mais pour le résoudre de manière approchée, on peut reformuler en : 
$$c = a \log_2(3) + \log_2 \left(1 + \frac{1}{3^a}\right) + \log_2(k)$$
Donc si $a$ est suffisamment grand, on a $c = \lceil a \log_2(3) - \log_2(k) \rceil$. Il doit y avoir moyen de rendre cela exact, mais ce commentaire est déjà trop long, je n'ai plus de place dans la marge.

Edit : comme $\log_2(3) < 2$, on sait que le nombre de solutions est fini. Cela résout pour de bon le problème.

Edit n°2 : En fait, c'est le fait que $\log_2(3)$ soit une constante indépendante de $a$ qui permet d'affirmer que le nombre de solutions est fini. J'ai vérifié une hypothèse plus forte. Mais pour s'en aperçevoir, il faut connaitre le petit nom de $\psi$... je n'en dirai pas plus pour ne pas spoiler.

gerard0

J'adore la bonne volonté manifeste de S0_ : 

"Oui je donne b et d comme des entiers naturels et je voudrais résoudre l'équation à inconnu (a,c) dans IN²..."

"L'équation est à deux paramètres b et d 
Et est deux inconnus a et c..."

"Je voudrais une résolution et si tu ne peux pas c'est pas pour ça que d'autres ne pourront pas..."

Et il a fallu lui sortir les vers du nez pour savoir quelle équation était en cause.

Rappel de la charte :

" Ne demandez pas à d'autres de faire des devoirs que vous n'avez pas le courage de faire vous-même. Par contre, si vous avez cherché sans succès et que vous exposez ce que vous avez tenté et les résultats déjà obtenus, il se trouvera sûrement quelqu'un pour donner un coup de pouce ou une piste..."

Julia Paule

@Bibix, dans $(\Z / 3^a \Z)^{\times}$ qui est cyclique car isomorphe à $\Z / (2*3^{a-1}) \Z$ , $2$ est générateur car premier avec $3^a$. Alors $\varphi(3^a)$ est le plus petit entier $m$ tel que $2^m=1 \pmod {3^a}$, et on n'a pas besoin de $\psi (3^a)$, non ?

EDIT : heu non, cette propriété est celle du groupe additif. C'est ok pour $\psi(3^a)$.

Alors on obtient une condition nécessaire, non suffisante car $k$ est fixé par $b$ et $d$.

Bibix

Oui, on a $\varphi(3^a) = \psi(3^a)$, mais je pensais plutôt à une autre fonction quand j'ai rédigé ce matin. On s'en sort encore plus facilement avec cette remarque pour montrer la finitude de l'ensemble des solutions.

Julia Paule

Ok. Je n'arrive pas à montrer que le plus petit entier $m$ tel que $2^m =1 \pmod {3^a}$ est $\varphi(3^a)$ ?

On a $2^{3^{a-1}}=-1 \pmod {3^a}$ mais ce n'est pas suffisant, et je crois que $2^{3^{a-2}}=-1+3^{a-1} \pmod {3^a}$, ce qui permettrait de le montrer. Mais cela ne doit pas être la bonne voie.

Sinon $a \log_2(3) + \log_2 \left(1 + \frac{1}{3^a}\right) + \log_2(k)=\log_2 (3^a+1)k \ne c$ ?

Puis pour résoudre de manière approchée, on a $c \cong a \log_2(3)+\log_2(k)$, il me semble que cela ne permet pas de voir la finitude des solutions.

gebrane

@Julia Paule   Sur wiki, tu comprendras  https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_de_Carmichael 

Julia Paule

Merci @gebrane. Je n'avais plus en tête cette fonction, mais il est curieux a priori qu'elle fonctionne pour tout entier $a$ premier avec $n$. A revoir donc.

Julia Paule

L'indicatrice de Carmichael $\lambda(n)$ est par définition le plus petit commun multiple des ordres des éléments de $(\Z / n \Z)^{\times}$, donc comme $n=3^a$, $(\Z / n \Z)^{\times}$ est cyclique, alors l'indicatrice de Carmichael et la fonction d'Euler coïncident.

Mais cela ne veut pas dire que l'ordre de $2$ dans $(\Z / 3^a \Z)^{\times}$ est $\varphi(3^a)$.

Bibix

Quels sont les éléments de $(\mathbb{Z} / 3^a \mathbb{Z})^×$ qui sont premiers avec $3^a$ ? (Il n'y en a pas beaucoup...)

Julia Paule

Il y en a $\varphi(3^a)=2.3^{a-1}$, ce qui est quand même pas mal. Je ne vois pas le rapport avec l'ordre de $2$.

Julia Paule

Oui bon, avec $n=3^a$, comme $2^{\varphi (n) / 2} = -1$ dans $(\Z / n \Z)^{\times}$, c'est que l'ordre de $2$ est $\varphi(n)$ (car $\varphi (n) / 2$ est le plus grand entier qui divise $\varphi(n)$). On a bien $\psi(3^a) = \varphi(3^a)$.

EDIT : non, ce raisonnement est faux : avec $a=3$, $\varphi(n)=18$, on a $8^{\varphi (n) / 2} = -1 \pmod {27}$ et l'ordre de $8$ est $6$ (et non $18$).

Julia Paule

Voilà un raisonnement qui tient la route, et l'ordre de $2$ dans $(\Z / 3^a \Z)^{\times}$ est bien $\varphi(3^a)=2.3^{a-1}$.

En effet, l'ordre de $2$ divise $\varphi(3^a)$. Ce n'est pas $3^{a-1}$ car $2^{3^{a-1}}=-1 \pmod {3^a}$ (car $2^{2*{3^{a-1}}}=1 \pmod {3^a}$ et $3 \not \mid (2^{3^{a-1}}-1)$).

Ce n'est pas $2.3^{a-2}$ car $2^{2*{3^{a-2}}}=1 + 3^{a-1} \pmod {3^a}$ (on l'obtient facilement par récurrence).

Et l'ordre de $2$ ne divise pas ces ordres-là. C'est donc $\varphi(3^a)$.

Julia Paule

Pour continuer, comme l'ordre de $3$ dans $(\Z /2^d \Z)^{\times}$ est $2^{d-2}$, pour qu'il y ait une solution, il faut encore que $2^{d-2} \mid b$, en plus de $2.3^{a-1} \mid c$. Mais il faut aussi que $2^c=1 \pmod {\frac{3^b-1}{2^d}}$ (qui doit être impair pour qu'il y ait des solutions), et on ne sait pas résoudre de manière générale cette dernière équation, sauf à prendre des valeurs particulières.

Bref, on n'obtient que des conditions nécessaires, pas suffisantes. Je m'arrête là.

S0_

Bonjour le groupe; bibix, Julia, gebrane, gerad0 et autres...

Je vous remercie pour les différents résultats que vous avez eu à m'envoyer...

Dans quelques temps je vais vous annoncer la démonstration totale d'une conjoncture conjecture ...

julian

Mouais... 

jean lismonde

Bonjour

notre ami Julian est plutôt dubitatif sur l'ambition de SO, il y a de quoi !

une conjoncture est un ensemble d'événements qui s'entrechoquent à un instant donné
notre ami SO va nous livrer une explication globale de la conjoncture actuelle plutôt défavorable :
guerre en Ukraine, inflation galopante des prix, pénurie de carburant, réchauffement climatique, mauvaise humeur du roi Charles III

mais SO voulait parler de sa CONJECTURE arithmétique sur les variables entières a et c solutions de son équation
c'est un objectif plus raisonnable et nous attendons tous de voir....

Cordialement

S0_

Bonjour Jean lesmonde

C'était une erreur de part le clavier et j'étais aussi sur le point de dormir et c'est pourquoi je n'avais pas pu lire le mot : ''conjecture''

Ok pas pour de nombres a et c mais ce sont bien des conjectures non démontrées jusqu'ici qui existaient...

Il y avait une partie qui m'avait conduit à ce que j'avais demandé...
Mais bon ça m'arrange d'une autre manière...