Groupe de p-torsion, et $\mathbb{F}_p$ espace vectoriel

Barjovrille

Bonjour,  soit $p$ un nombre premier,
j'essaye de montrer que la catégorie des groupes de $p$-torsion (qui est une sous-catégorie des groupes abéliens) est isomorphe à la catégories des $\mathbb{F}_p$ espaces vectoriels.

Mon idée est, un $\mathbb{F}_p$ espace vectoriel c'est un groupe abélien $G$ muni d'un morphisme d'anneau $\mathbb{F}_p \mapsto End(G)$.
Où $End(G)$ est l'ensemble des endomorphisme de $G$. Et de  montrer que $End(G)$ est un corps de caractéristique $p$ quand $G$ est de p-torsion, pour utiliser le fait que $\mathbb{F}_p$ est un objet initial pour la catégorie des corps de caractéristique $p$ et donc il y a un unique morphisme de corps qui donne à $G$ une structure de $\mathbb{F}_p$ espace vectoriel et donc le foncteur recherché est identité des groupe de $p$-torsion.

Mais je n'arrive pas à montrer que $End(G)$ est un corps est-ce que je suis dans la bonne direction ? 
Est-ce que vous avez une idée pour me débloquer ?

Math Coss

Est-ce que $\mathrm{Mat}_2(\mathbf{F}_p)$ est un corps ? Avec un nilpotent comme $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ dedans, ce serait étonnant. (Bien sûr, $\mathrm{Mat}_2(\mathbf{F}_p)$ est isomorphe à l'anneau des endomorphismes de $G=\mathbf{F}_p^2$.)

Pour ce que tu veux montrer, ne suffit-il pas de faire de tout groupe abélien de $p$-torsion un espace vectoriel sur $\mathbf{F}_p$ et de vérifier que toute application additive commute à la multiplication par les éléments de $\mathbf{F}_p$ ?

Barjovrille

Merci pour ta réponse @Math Coss .
J'ai du mal a trouver des infos sur les groupes de $p$-torsion si quelqu'un a un référence ou peut m'indiquer des cours je suis preneur.
Bon si la définition d'un groupe  $G$ de $p$-torsion c'est pour tout $x \in G,\ px=0$ alors
Soit $G$  un groupe abélien de $p$-torsion, il y a une unique façon de munir $G$  d'une structure de $\mathbb{Z}$ module avec le morphisme d'anneau $\psi : \mathbb{Z} \to End(G)$ tel que $\psi(1)= Id_G$. Par définition de la $p$-torsion $p\mathbb{Z} \subset \ker(\psi)$.
On a la propriété universelle suivante sur les quotients. 
Il existe un unique morphisme d'anneau $\phi : \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \to  End(G)$ tel que $\psi= \phi \circ \pi$ avec $\pi : \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ la projection canonique. 
La multiplication par les scalaires $\mathbb{F}_p$ est définie par $\phi(\lambda)(g)$ (qu'on peut noter avec un point ($\lambda . g$)  comme d'habitude) et comme c'est un morphisme d'anneau on a bien un ($\phi$,$G$) un espace vectoriel sur $\mathbb{F}_p$.

Sauf que je n'ai pas trouvé une définition exacte des groupes de $p$-torsion, je connaissais celle des torsions avec les modules, et donc  torsion de groupe  c'est la torsion du groupe abélien vu comme un $Z$ module, est-ce que j'ai la bonne définition pour la $p$-torsion ?