Corps fini, espace vectoriel

OShine

Bonjour,

Le niveau s'élève de plus en plus dans la fin du Liret. 
J'ai quelques difficultés sur ces notions théoriques.  Auriez-vous un exemple simple pour $L$ ?
Je bloque sur le premier encadré.

MrJ

Sais-tu construire le corps $\mathbb{F}_4$ à l'aide d'un polynôme irréductible de $\mathbb{F}_2$?

OShine

Non je n'ai jamais appris à faire ça. Je sais juste que dans $F_2[X]$ le polynôme $X^2+X+1$ est irréductible car de degré $2$ et n'ayant aucune racine dans le corps $F_2[X]$.
$X+1$ est aussi irréductible dans $F_2[X]$.

Si $L$ est un espace vectoriel qui a un nombre fini d'élément pourquoi sa dimension en tant que $F_p$ espace vectoriel est finie ? 
J'ai du mal à voir c'est où qu'on utilise l'hypothèse du corps $F_p$...

Si $L$ est fini, $L=(l_1, \cdots, l_n)$ alors $L$ est une famille génératrice de $L$. Pour la liberté je ne sais pas comment faire. 

MrJ

Tous les éléments de $L$ forment une famille génératrice finie de $L$, donc $L$ est de dimension finie par définition d'un espace vectoriel de dimension finie (peu importe le corps de base).

Si tu connais la notion de quotient, tu peux considérer $L = \mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)$. Si on note $\alpha$ la classe de $X$ dans ce quotient, on obtient que $L=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}$ et la relation $\alpha^2+\alpha+1=0$. Avec ces données, tu peux écrire la table de la multiplication dans $L$.

Math Coss

Dans un (le) corps à quatre éléments, tu as deux éléments forcés, $0$ et $1$. Tu as aussi $1+1=0$ (pourquoi ?). Il y a un autre élément, disons $a$. Que peuvent être $a+0$, $a+1$, $a+a$ ? Que peut être $a^2$ ? La table d'addition et la table de multiplication sont presque finies.

JLapin

OShine a dit :
Si $L$ est un espace vectoriel qui a un nombre fini d'élément pourquoi sa dimension en tant que $F_p$ espace vectoriel est finie ?

Parce que la famille constituée de tous les éléments de $L$ constitue une famille génératrice finie de $L$.

OShine

@JLapin
J'ai un doute pour génératrice.
Si $L=(l_1, \cdots, l_n)$ on écrit $l_1 = l_1  \times \bar{1}$ ? Ca a un sens ? C'est le corps $F_p$ qui me dérange, si le corps est $\R$ c'est facile.

MrJ

C'est un des axiomes de la définition d'un espace vectoriel : pour tout $v\in E$, on a $1_\mathbb{K} \cdot v = v$.

OShine

MrJ a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2383902/#Comment_2383902

Je connais la notion de quotient mais je n'ai pas compris comment tu trouves que $L=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}$ et pourquoi on a $\alpha^2+\alpha+1=0$.
On a $cl(\alpha)=cl(\beta)$ si et seulement si $\alpha - \beta \in (X^2+X+1) K[X]$
Après je ne vois pas comment trouver toutes les classes.

OShine

Math Coss a dit :

Dans un (le) corps à quatre éléments, tu as deux éléments forcés, $0$ et $1$. Tu as aussi $1+1=0$ (pourquoi ?). Il y a un autre élément, disons $a$. Que peuvent être $a+0$, $a+1$, $a+a$ ? Que peut être $a^2$ ? La table d'addition et la table de multiplication sont presque finies.

Je n'ai rien compris.

raoul.S

OShine a dit :

Auriez-vous un exemple simple pour $L$ ?

Le plus simple est $L=\Z/p\Z$, c'est un corps car $p$ est premier. Il a $p$ éléments. Pour un corps à $p^2$ éléments c'est plus compliqué, voir les messages ci-dessus avec les polynômes.

MrJ

@OShine : C'est un bon exercice de montrer que $L=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}$. Il faut essentiellement utiliser la division euclidienne.

nicolas.patrois

OShine a dit :

Je connais la notion de quotient mais je n'ai pas compris comment tu trouves que $L=\{0,1,\alpha,1+\alpha\}$ et pourquoi on a $\alpha^2+\alpha+1=0$.

Parce que le quotient est par $X^2+X+1=X^2-X-1$ (on est dans un corps de caractéristique 2).

Ainsi, $X^2=X+1$ dans ce quotient, ce qui veut dire que dès que tu rencontres une puissance de $\alpha$ supérieure ou égale à 2, tu peux remplacer $\alpha^2$ par $\alpha+1$ autant que nécessaire pour abaisser la puissance à en-dessous de 2. N’oublie pas aussi que la caractéristique est 2.

Bref, amuse-toi à trouver $\alpha^3=a_3 \alpha+b_3$, $\alpha^4=a_4 \alpha+b_4$, etc.

En fait, tu fais une division euclidienne de polynômes à coefficients dans $\mathbb{F}_2$ (le diviseur est à chaque fois $X^2+X+1$).

OShine

@MrJ
Ce sont des notions très avancées pour moi je ne comprends pas quand vous allez vite.
Je veux bien faire la division euclidienne d'un élément de $F_2[X]$.
Soit $P \in F_2[X]$ alors $P=(X^2+X+1) Q+ aX+b$ avec $a,b \in \{0,1 \}$
Donc $cl(P)= cl(aX+b) \in \{ cl(0), cl(X), cl( X+1), cl(1) \}$.
Pourquoi $cl(1)=1$ ? Pourquoi $cl(0)=0$ ? 
Je ne comprends pas le $\alpha^2 + \alpha +1=0$ comment l'obtenir.

OShine

@nicolas.patrois
Je n'ai pas compris d'où sort le $X^2=X+1$ de ton message.

JLapin

C'est une égalité modulo $X^2+X+1$.

jean-éric

Salut OS,

C'est peut-être un problème d'écriture ? 

Nicolas Patrois voulait dire que $\overline{X^2+X+1}=\overline{X^2-X-1}=\overline{0}$ modulo $X^2+X+1$ car le corps de base est $\mathbb{F}_2$ et donc $\overline{X^2}=\overline{X+1}$ modulo $X^2+X+1$. Pour ne pas alourdir les notations il n'a pas mis les barres...

Jean-éric

OShine

Ok merci c'est bon j'ai compris.

Par contre le message de @Math Coss je n'ai absolument rien compris.

john_john

Pour aprendre à bien manipuler ces concepts, je pense qu'il faut s'affranchir des définitions et considérer que les relations servant au passage au quotient sont en fait des règles de calcul.
Pour $\C$, on ne se demande pas si c'est $\R\times\R$ muni de certaines lois internes, ou $\R[X]/(X^2+1)$, mais on le voit comme l'ensemble des $a+b{\rm i}$ avec la règle de calcul ${\rm i}^2+1=0$, c'est-à-dire ${\rm i}^2=-1$.

De la même façon, le corps à quatre éléments est l'ensemble des $a+bx$, avec $a$ et $b$ dans $\Z/2\Z$ et $x$ un symbole satisfaisant à la relation $x^2+x+1=0$, c'est-à-dire $x^2=-x-1$ ou encore $x^2=x+1$ parce que, dans $\Z/2\Z$, $-1$ et $1$ c'est pareil.

À l'époque où les structures quotients étaient au programme de Spé (vous n'étiez pas nés, tous autant que vous êtes), je proposais une autre approche de la construction des extensions de corps : si $K$ est un corps et $P$ un polynôme irréductible, on définit $M$, matrice compagnon de $P$ (voir ce mot), puis $L=K[M]$, qui est engendré comme $K$--ev par les $M^k$, où $k<{\rm deg}(P)$. Cela fait aussi bien l'affaire car ce corps est isomorphe à $K[X]/(P)$ !

Après cela, quelle que soit la construction choisie, il fallait accepter un peu d'abstraction pour quotienter à son tour $L[X]$ par un idéal maximal.

Math Coss

Je vais décrire l'addition et la multiplication sur tout corps $K$ à quatre éléments.

On connaît déjà les neutres de l'addition et de la multiplication, 0 et 1. On a évidemment $0+0=0$, $0+1=1=1+0$.

Que vaut $1+1$ ? Notons provisoirement cet élément $2$... D'après le théorème de Lagrange appliqué au groupe additif $(K,+)$, l'ordre de $1$ est un diviseur de $4=|K|$, i.e. $2$ ou $4$ ; quoi qu'il en soit, $1+1+1+1=0$. Or $2\times2=(1+1)\times(1+1)\stackrel\ast=1+1+1+1=0$ (égalité $\ast$ par distributivité). Comme on est dans un corps (où un produit est nul SSI un des facteurs est nul), $2=0$. On en déduit que $1=-1$ puis que $x=-x$, et que $x+x=0$ pour tout $x$ dans $K$.

Outre $0$ et $1$, il y a dans $K$ deux autres éléments, disons $a$ et $b$. Bien sûr, $a+0=a=0+a$ et $a+a=0$. Quant à $a+1=1+a$, il ne peut être égal à $a$ ni à $1$ (car $1$ et $a$ sont différents de $0$), ni à $0$ (sinon on aurait  $a=-1=1$) ; autrement dit, $a+1=b$.

Que peut être $a^2$ ? Bien sûr ce n'est ni $0$ (car $a\ne0$) ni $a$ (car alors $(a-1)a=0$ d'où $a=1$ ou $a=0$). Il n'est pas possible que $a^2=1$, car alors on aurait $a^2-2a+1=0$ (rappel : $2a=0$ et $-1=1$), i.e. $(a-1)^2=0$, d'où $a=1$. Il en résulte que $a^2=a+1$. De même $b^2=b+1=a$. Enfin, $ab=a(a+1)=a^2+a=1$.

Résumé des opérations dans des tables.\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline +&0&1&a&b\\\hline0&0&1&a&b\\1&1&0&b&a\\a&a&b&0&1\\b&b&a&1&0\\\hline\end{array}\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \times&0&1&a&b\\\hline0&0&0&0&0\\1&0&1&a&b\\a&0&a&b&1\\b&0&b&1&a\\\hline\end{array}\]Variante.\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline +&0&1&a&a+1\\\hline0&0&1&a&a+1\\1&1&0&a+1&a\\a&a&a+1&0&1\\a+1&a+1&a&1&0\\\hline\end{array}\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \times&0&1&a&a+1\\\hline0&0&0&0&0\\1&0&1&a&a+1\\a&0&a&a+1&1\\a+1&0&a+1&1&a\\\hline\end{array}\]En fait, ce qui compte c'est de voir que $K$ est engendré par $0$, $1$ et $a$ avec les relations\[1+1=0\quad\text{et}\quad a^2+a+1=0.\] Tout se déduit des règles de calcul dans un corps et de ces deux relations supplémentaires.

Pour élever le niveau, c'est exactement ce qui explique que l'on puisse construire ce corps comme quotient de $\mathbf{F}_2[X]$ par l'idéal engendré par $X^2+X+1$, qui est le plus petit anneau contenant $\mathbf{F}_2=\Z/2\Z$ et un élément $a$ (la classe de $X$) tel que $a^2+a+1=0$ ; cet anneau est en fait un corps parce que $X^2+X+1$ est irréductible sur $\mathbf{F}_2$.

gai requin

D'autant plus que c'est le seul irréductible de degré $2$ dans $\mathbf F_2[X]$

OShine

@gai requin dans  $K[X]$ avec $K$ un corps, un polynôme de degré $2$ ou $3$ est irréductible si et seulement si il n'a pas de racine dans $K$. 
Dans $F_2[X]$ c'est très facile à voir si un nombre est racine, il y a que $0$ et $1$ à tester.

@john_john je ne peux pas m'affranchir des définitions vu mon niveau et mon recul sur les notions. J'ai découvert les groupes quotients il y a 3 mois. 

@Math Coss pourquoi vous parlez de corps à $4$ éléments ? Il sort d'où le $4$ ?
Sinon merci pour ton message accessible à mes capacités limitées sur ce domaine. Intéressant ces petits calculs sur un corps.
Je trouve ce corollaire particulièrement difficile à comprendre, avec le mélange entre corps, espace vectoriel, dimension, cardinal, caractéristique.
Il faut avoir des connaissances très solides en algèbre.

Je comprends mieux pourquoi ces notions ne sont pas abordées en prépa, quand on rentre dans les sous-corps, ça devient vite compliqué. 

nicolas.patrois

OShine a dit :

pourquoi vous parlez de corps à $4$ éléments ? Il sort d'où le $4$ ?

0, 1, a, 1+a, ça fait combien d’éléments ?

Magnéthorax

Sa question initiale a reçu 2 fois une réponse claire (L est une partie génératrice de L et L est finie). OShine n'en n'est pas encore à la construction des corps finis. Dans un cours classique, ça vient après. Il ne faut pas s'étonner s'il se perd, si ses fils sont à rallonge, s'il a du mal à retenir, etc.

JLapin

En fait, il y avait deux questions dans son message initial : 

celle de la dimension finie

celle d'un exemple simple (pour ma part, j'aurais répondu que non, à son stade il n'y a pas d'exemple simple mais d'autres intervenants pensent que $F_2[X]/(X^2+X+1)$ en est un).

Math Coss

D'où sort le $4$ ? C'est le plus petit exemple d'un corps dont le cardinal n'est pas un nombre premier. Pour tout $p$ premier, il est à peu près évident qu'il n'y a qu'un seul corps de cardinal $p$, c'est $\Z/p\Z$ ; on connaît sa structure. Si on veut un autre exemple, il faut donc un nombre qui n'est pas premier et qui est susceptible d'être le cardinal d'un nombre premier, i.e. une puissance d'un nombre premier. Le premier exemple est $4$, le deuxième est $9$, le troisième est $8$. (Oui, je sais que $8<9$ mais l'exposant de $2$ dans $8$ est plus grand que celui de $3$ dans $9$, ce qui fait que le corps à $8$ éléments est un peu plus compliqué que celui à $9$ éléments à mon avis.)

Exercices : décrire un (en fait : le) corps à $9$ éléments ; décrire un (en fait : le) corps à $8$ éléments. Puis lire la théorie.

OShine

D'accord merci, en effet je ne dois pas brûler les étapes. 
@JLapin oui je pense que tu as raison, j'ai trouvé ça compliqué, après je verrai bien les exercices en fin de chapitre.
@Magnéthorax merci oui je découvre, j'ai déjà du mal à assimiler les résultats de cours que je trouve très théoriques. Et voir que des nouvelles choses c'est compliqué pour moi, je n'ai pas sur quoi me rattacher.
Le résultat suivant dont la démo ressemble à une démo du cours d'algèbre linéaire de prépa est-il important en pratique ?

Magnéthorax

Oui si tu veux continuer. Tu verras peut-être plus tard des applications des suites finies de corps emboîtés $K_1 \subset K_2 \subset \cdots \subset K_p$  (constructibilité à la règle et au compas, résolubilité par radicaux des équations polynomiales).

Math Coss

Tiens, si on se faisait un petit corps de cardinal $9$ ? Fixons-en un, disons $K$.

L'ordre de $1$ dans le groupe additif est un diviseur de $9$ (Lagrange), c'est $3$ (car $(1+1+1)\times(1+1+1)=0$). On en déduit que $K$ contient le sous-anneau $k=\{0,1,2\}$, qui est en fait un sous-corps isomorphe à $\Z/3\Z$ et donc que $K$ est un espace vectoriel sur ce corps $k$, de dimension $2$ pour des raisons de cardinal.

Soit $\alpha$ un élément différent de $0$, $1$ et $-1=1+1=2$. Alors $(1,\alpha)$ est une base de $K$ comme $k$-ev, ce qui permet de dresser la liste des éléments de $K$ et d'en déduire la table d'addition : $\{0,1,-1,\ \alpha,\alpha+1,\alpha-1,\ -\alpha,-\alpha+1,-\alpha-1\}$.

En gros, il reste à calculer $\alpha^2$. De là, il est immédiat de terminer la table de multiplication du corps en développant $(\pm\alpha\pm1)(\pm\alpha\pm1)$ et $\alpha(\pm\alpha\pm1)$.

Il est exclu que $\alpha^2=0$, que $\alpha^2=1$ ou que $\alpha^2=\pm\alpha$ car on aurait alors $\alpha=\pm1$ (factoriser $\alpha^2-1$ dans le premier cas, diviser par $\alpha$ dans le second). Plus subtil, $\alpha^2-\alpha+1=\alpha^2+2\alpha+1=(\alpha+1)^2\ne0$ donc $\alpha^2\ne\alpha-1$ et, de même, $\alpha^2+\alpha+1=\alpha^2-2\alpha+1=(\alpha-1)^2$ donc $\alpha^2\ne-\alpha-1$.

Restent donc trois valeurs possibles pour $\alpha^2$ : $-1$, $-\alpha+1$, $\alpha+1$. En fait, cela conduit au même corps.

En effet, supposons par exemple que $\alpha^2=-\alpha+1$. Alors $\alpha'=-\alpha$ satisfait à ${\alpha'}^2=\alpha'+1$ et $\beta=\alpha-1$ satisfait à $\beta^2=\alpha^2-2\alpha+1=\alpha^2+\alpha+1=2=-1$. On vérifie que vice versa.

Tout ça pour dire qu'il n'y a qu'un seul corps à $9$ éléments, engendré par ($1$ et) un élément $\alpha$ et gouverné par les relations \[1+1+1=0\quad\text{et}\quad \alpha^2+\alpha-1=0.\]En termes plus chics, cela signifie que $K$ est isomorphe à $\mathbf{F}_3[X]/(X^2+X-1)$ (ou, si l'on préfère, à $\mathbf{F}_3[X]/(X^2+X+1)$, ou encore à $\mathbf{F}_3[X]/(X^2+1)$).

OShine

D'accord merci, je vais étudier les exemples qui suivent dans le livre je comprendrai mieux.