Irrationalité de la valeur d'une série

Fin de partie

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_4(n)}{n!}$ est irrationnel avec $\displaystyle \sigma_4(n)= \sum_{d|n} d^4$

noix de totos

Ce preprint montre que ce résultat est très difficile à montrer.

En revanche, l'assertion 
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma(n)}{n!} \not \in \mathbb{Q}$$
ne requiert, quant à elle, que des raisonnements dits "élémentaires" (donc pas d'outils très techniques de théorie analytique des nombres).

C'est la raison pour laquelle je soumets ici cette série à la sagacité des uns et des autres, comme un exercice "à la Étanche".

Bon courage !

john_john

Bonjour, noix de totos ; ce que tu appelles $\sigma$ est-il $\sigma_0$ (nombre de diviseurs) ou $\sigma_1$ (somme d'iceux) ? En tout cas, je suis étonné d'apprendre que c'est difficile pour $\sigma_4$ car, en voyant cet énoncé, j'aurais sans doute pensé que la rapidité de convergence de la série faisait que cela se traitait comme pour $\displaystyle\sum\frac1{n!}\cdot$

noix de totos

Salut John_John,

J'ai repris les notations usuelles, i.e. $\sigma(n) := \sum_{d \mid n} d$.

Calli

Bonsoir,
Je réponds à @noix de totos.
Supposons par l'absurde que $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sigma (n)}{n!} = \frac{a}{b}$ avec $a,b\in \mathbb{N}^*$. Soit $p\gg 1$ premier. On a : \[\underbrace{\frac{a(p-1) !}{b} }_{\in \mathbb{N}} = \underbrace{\sum _{n=0} ^{p-1} \frac{\sigma (n)(p-1) !}{n!} }_{\in \mathbb{N}} + \frac{\sigma (p)}{p} +\sum _{n=p+1} ^{\infty } \frac{\sigma (n)(p-1) !}{n!}\] Or d'une part $\frac{\sigma (p)}{p} = 1+ \frac{1}{p}$. Et d'autre part, on a $\sigma (n)\leqslant n\sum\limits _{d|n} 1 \leqslant n\cdot 2\sqrt{n}$ donc : \begin{eqnarray*} \sum _{n=p+1} ^{\infty } \frac{\sigma (n)(p-1) !}{n!} &\leqslant & \sum _{n=p+1} ^{\infty } \frac{2n^{3/2} }{p^{n-p+1} } \\ &\overset{(*)}\leqslant & \sum _{n=p+1} ^{\infty } \frac{2p^{ \frac{4}{5} (n-p+1)} }{p^{n-p+1} }\\ &=& \frac{2 p^{-2/5} }{1- p^{-1/5} } \\ &\underset{p\rightarrow \infty }{\longrightarrow} & 0 \end{eqnarray*} Donc $\displaystyle \frac{\sigma (p)}{p} -1+\sum _{n=p+1} ^{\infty } \frac{\sigma (n)(p-1) !}{n!}$ tend vers 0 quand $p\rightarrow \infty $ tout en restant strictement positif. En particulier, il n'est pas entier à partir d'un certain rang, ce qui est absurde.

PS : Justification de $(*)$. Soit $u_{p,n} =\displaystyle \frac{p^{ \frac{4}{5} (n-p+1)}}{n^{3/2}}$. On a pour $n>p\gg 1$ : \[u_{p,n} = u_{p,p+1} \prod _{k=p+1} ^{n-1} \frac{u_{p,k+1} }{u_{p,k}} = \underbrace{\frac{p^{8/5} }{(p+1)^{3/2} }}_{\geqslant 1 \text{ car } \frac{8}{5} > \frac{3}{2}} \prod _{k=p+1} ^{n-1} \underbrace{p \left(1+ \frac{1}{k} \right)^{-3/2} }_{\geqslant 1} \geqslant 1.\]

noix de totos

Très bien, Calli !

On peut donner des variantes pour la fin du raisonnement. Par exemple :

Soit $S$ la série en question, en supposant qu'il existe $(a,b)=1$ tels que $S = a/b$ et soit $p > \max(6,b)$ un nombre premier. Comme Calli, on commence par écrire
$$S = \sum_{n=1}^{p-1} \frac{\sigma(n)}{n!} + \sum_{n=p}^\infty \frac{\sigma(n)}{n!}$$
et ainsi
$$(p-1)! S = (p-1) ! \sum_{n=1}^{p-1} \frac{\sigma(n)}{n!} + \sum_{m=0}^\infty \frac{\sigma(m+p)}{p(p+1) \dotsb (p+m)} := (p-1)! S_1 + S_2.$$
Comme $p > b$, $(p-1)! S $ est entier, et $(p-1) ! S_1$ est lui aussi entier. Montrons alors que $S_2$ n'est pas entier. On a
$$S_2 = \frac{\sigma(p)}{p} + \sum_{m=1}^\infty \frac{\sigma(m+p)}{p(p+1) \dotsb (p+m)} = 1 + \frac{1}{p} + \sum_{m=1}^\infty \frac{\sigma(m+p)}{p(p+1) \dotsb (p+m)}$$ 
d'où $S_2 > 1$, et comme $\sigma(p+m) < 1 + 2 + \dotsb + p+m = \frac{1}{2} (p+m)(p+m+1)$, il vient
$$\sum_{m=1}^\infty \frac{\sigma(m+p)}{p(p+1) \dotsb (p+m)} < \frac{1}{2} \sum_{m=1}^\infty \frac{p+m+1}{p(p+1) \dotsb (p+m-1)} < \frac{1}{2} \sum_{m=1}^\infty \frac{p+2}{p^m} = \frac{p+2}{2(p-1)} < \frac{p-1}{p}$$
où la dernière inégalité a été obtenue via $p > 6$. Ainsi
$$1 < S_2 < 1+ \frac{1}{p} + \frac{p-1}{p}=2$$
donc $S_2$ n'est pas entier.

Calli

Ça marche @noix de totos.  Tes majorations à la fin sont plus jolies que les miennes.

PS : tu devrais écrire $1+2+\dots+(p+m)$ au lieu de $1+2+\dots+p+m$ car j'avais compris $(1+2+\dots+(p-1)+p)+m$ au début.

Calli

Pour $\sum\limits_{n=1}^\infty  \frac{\sigma _{2} (n)}{n!}$ je commence voir venir les problèmes. Avec la méthode précédente, il faudrait pouvoir dire des choses exploitables sur $\frac{\sigma _{2} (p)}{p}$ et $\frac{\sigma _{2} (p+1)}{p(p+1)}$ (car la suite de la série se majore encore bien). Donc il faut choisir $p$ tel que $p$ et $p+1$ ont simultanément certaines propriétés arithmétiques qui nous arrangent. Par exemple, si $p$ est premier et de la forme $2^{j} -1$, ce serait pratique. Mais on ne sait pas s'il existe une infinité de tels nombres apparemment. Ça donne une idée de pourquoi les $\sum\limits_{n=1}^\infty  \frac{\sigma _k (n)}{n!}$ avec $k>1$ sont durs à traiter.

noix de totos

Cette démonstration n'est pas la mienne, mais est celle de Kelly [1]. Le cas $k=2$, similaire, peut être trouvé dans [2]. Pour le cas $k=3$, il faut utiliser des méthodes de cribles [3] (cet article est en ligne). On trouve aussi dans [3] une synthèse des cas $k=1$ et $k=2$. À noter que le cas $k=3$ a été également prouvé indépendamment dans [4]. Enfin, comme le souligne Pratt dans le preprint fourni par Fin de Partie, le cas $k=4$ est très probablement la limite des méthodes de crible. Ainsi, la conjecture d'Erdös & Kac, à savoir
$$\forall k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}, \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_k(n)}{n!} \not \in \mathbb{Q}$$
est bien sûr toujours ouverte, et il faudra sans doute de nouvelles idées pour aborder les cas $k \geqslant 5$.

Références.

[1] P. Erdös, Problem 4493, Amer. Math. Monthly 59 (1952) 412; Solution J.B. Kelly, Amer. Math. Monthly 60 (1953) 557-558.

[2] P. Erdös & M. Kac, Problem 4518, Amer. Math. Monthly 60 (1953) 47; Solution R. Breusch, Amer. Math. Monthly 61 (1954) 264-265.

[3] J. B. Friedlander, F. Luca & M. Stoiciu, On the irrationality of a divisor function series, Integers 7 (2007), A31, 9 pp. 

[4] J. C. Schlage-Puchta, The irrationality of a number theoretical series, Ramanujan J. 12 (2006), 455-460.

Fin de partie

Merci pour toutes ces mathématiques que je ne connaissais pas.

Existe-t-il quelque part une liste de constantes pour lesquelles on a des preuves qu'elles sont des nombres irrationnels?

noix de totos

Pour un bon bouquin traitant les principales constantes mathématiques, j'ai tendance à conseiller celui-ci, très complet : 

https://www.amazon.fr/Mathematical-Constants-Steven-R-Finch-ebook/dp/B01DM25JGC/ref=sr_1_5?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&crid=1B0YQ2UXP91XY&keywords=Finch%2C+constants&qid=1664273258&qu=eyJxc2MiOiIwLjk5IiwicXNhIjoiMC4wMCIsInFzcCI6IjAuMDAifQ%3D%3D&sprefix=finch%2C+constants%2Caps%2C81&sr=8-5

Il y a un tome 2 : 

https://www.amazon.fr/Mathematical-Constants-Encyclopedia-Mathematics-Applications-ebook/dp/B07L141BG5/ref=sr_1_4?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&crid=1B0YQ2UXP91XY&keywords=Finch%2C+constants&qid=1664273321&qu=eyJxc2MiOiIwLjk5IiwicXNhIjoiMC4wMCIsInFzcCI6IjAuMDAifQ%3D%3D&sprefix=finch%2C+constants%2Caps%2C81&sr=8-4

gilles benson

et pourquoi ne pas indiquer le livre de François  Le Lionnais: LES NOMBRES REMARQUABLES chez Hermann.

Fin de partie

Merci pour toutes ces références mais je ne suis pas sûr que dans ces livres il y ait une référence à une démonstration pour le cas où une constante est irrationnelle (transcendantale ).

gilles benson

bonsoir le premier opus de Finch mentionne l'irrationnalité de la constante d'Apery (et quelques éléments de preuve) et le résultat de RAJ sur la somme des inverses des nombres de Fibonacci

gilles benson

Evidemment, le livre de Le Lionnais n'est qu'un catalogue

noix de totos

Gilles Benson : J'allais te répondre dans ce sens, mais tu m'a devancé.

Disons que le livre de Le Lionnais est très bien dans son genre, mais il est beaucoup moins pointu que ceux de Finch. Dans ces derniers, chaque constante dispose en moyenne de 10 pages d'explications, l'auteur ne se contentant pas que d'évoquer un bref historique, mais rappelle le contexte, quelques calculs, les dernières avancées, etc, et les références sont nombreuses. Par exemple, beaucoup de séries sur les nombres premiers, avec ou sans caractères de Dirichlet, sont données.

Enfin, on a souvent mentionné Le Lionnais sur ce forum, rarement les Finch.

gilles benson

Noix de toto: je connaissais le premier volume de Finch mais j'ignorais qu'il y avait une suite; bonne soirée.