Série avec fonction de von Mangoldt

rebellin

Bonjour
Je suis en train de faire l'exercice 12 du chapitre 1 du livre Analyse mathématique, grands théorèmes du vingtième siècle (Choimet-Queffélec). Je bloque sur le début de la question c) : Montrer que $\sum u_n$ converge vers $-2\gamma.$ Pour information (indication), le chapitre est consacré aux théorèmes Taubériens. Voici l'énoncé.

On note $\Lambda$ la fonction de von Mangoldt, $d(n)$ le nombre de diviseurs de l'entier $n\geq 1,$ et on pose $u_n=\frac{\Lambda(n)-1}{n}$ On pose également $$f(x)=(1-x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\frac{nx^n}{1-x^n},\text{ pour }|x|<1.$$a) Montrer que $$f(x)=(1-x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\ln n-d(n)\right)x^n,~\text{ pour }|x|<1.$$b) En utilisant les estimées

$$\sum\limits_{n=1}^{N} d(n)=N\ln N+(2\gamma-1)N+O\left(\sqrt{N}\right)$$ et $$\sum\limits_{n=1}^N \ln n=N\ln N-N+O(\ln N),$$ montrer que $f(x)\underset{x\nearrow 1}{\rightarrow}-2\gamma,$ où $\gamma$ est la constante d'Euler.

c) Montrer que $\sum u_n$ converge vers $-2\gamma.$ En déduire que $$\sum\limits_{n\leq x}\Lambda (n)\underset{x\rightarrow +\infty}{\thicksim}x,$$ ce qui équivaut au théorème des nombres premiers.

Pour la qu°a), j'ai utilisé série géométrique, Fubini-Tonelli et sommation par paquets ; pour la b), un théorème Taubérien dû à Frobenius ; et pour la fin de la c), le lemme de Kronecker.

Boécien

Tu connais la sommation de Lambert en théorie taubérienne ?

Edit. En cherchant dans le forum on tombe sur une discussion où Poirot cite le théorème de Hardy-Littlewood auquel je pensais.

rebellin

Je ne connaissais pas, mais c'est ce que j'ai fait dans la question 1 : d'après le théorème de Fubini-Tonelli,

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\frac{nx^n}{1-x^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\Lambda (n)-1\right)\sum\limits_{k=1}^{\infty}x^{nk}=\sum\limits_{n,k=1}^{\infty}\left(\Lambda (n)-1\right)x^{nk},$$ puis en sommant sur les paquets $I_p=\left\{(n,k)\mid nk=p\right\},$

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\frac{nx^n}{1-x^n}=\sum\limits_{p=1}^{\infty}x^p\sum\limits_{(n,k)\in I_p}\left(\Lambda(n)-1\right)=\sum\limits_{p=1}^{\infty}x^p\sum\limits_{n|p}\left(\Lambda(n)-1\right)=\sum\limits_{p=1}^{\infty}\left(\ln p-d(p)\right)x^p.$$

Mais je ne vois pas comment je peux réutiliser ce raisonnement au début de la qu°c.

noix de totos

Comme le dit Boécien, il s'agit ici d'une démonstration du TNP via la sommabilité de Lambert.

(a) Cette question n'est qu'une conséquence immédiate de l'égalité des séries de Lambert suivantes : si $f$ est une fonction arithmétique quelconque, alors, pour tout $x \in \left[ 0,1 \right[$, on a
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n) x^n}{1-x^n} = \sum_{n=1}^\infty (f \star \mathbf{1})(n) x^n.$$

Voir Pólya et Szegö, Problems and Theorems in Analysis tome 2, Springer, Exercise 65 p. 125.

Il suffit d'appliquer ce résultat à $f = \Lambda$ et $f = \mathbf{1}$, en se souvenant que $\Lambda \star \mathbf{1} = \log$ et $\mathbf{1} \star \mathbf{1} = d$.

(c) La limite obtenue en (b) montre que ta série $\sum u_n$ est sommable au sens de Lambert.  Il doit y avoir dans ton livre le résultat suivant : si une série $\sum_n a_n$ converge vers $L$ au sens de Lambert et si $a_n \ll n^{-1}$, alors $\sum_{n=1}^\infty a_n = L$.

Voir A. Peyerimhoff, Lectures on Summability, Springer, New York, 1969, Theorem III.24 page 84. En fait, on a un peu mieux : la sommabilité au sens de Lambert entraîne celle au sens d'Abel.

Boécien

Soit $(a_n)_n$ une suite de nombres réels tels que $na_n \geq -C$ pour tout $n \geq 0$, où $C > 0$. Si la série $\sum_n a_n$ est Lambert-sommable, c'est-à-dire si $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \frac{nt}{e^{nt}-1}$$ admet une limite $A$ quand $t$ tend vers $0^-$, alors la série $\sum_n a_n$ converge vers $A$.

rebellin

Merci, je n'avais pas vu ce théorème dans le lien. C'est vrai que ça règle le problème d'un coup ; et c'est probablement ce que les auteurs du livre avaient en tête, vu que c'est à la fin d'un chapitre sur les théorèmes Taubériens.

rebellin

Ce théorème de Hardy-Littlewood est bien mentionné dans le chapitre 1 du livre, mais je ne l'avais pas vu (il n'est pas écrit clairement).

Merci à vous deux pour l'aide. Je pensais qu'une preuve élémentaire m'échappait.

Boécien

C'est vrai qu'après Ikehara ce théorème semble être un peu tombé dans l'oubli pour montrer le TNP.

noix de totos

D'une manière générale, les théorèmes taubériens ne sont plus vraiment utilisés dans la recherche actuelle, les outils de sommations issus de l'analyse complexe (Perron, etc) étant bien plus performants.

Ceci dit, culturellement parlant, ils restent souvent présents dans les livres d'introduction à la théorie analytique des nombres et/ou dans certains ouvrages d'analyse avancée.