Courbes elliptiques (coquille relevée)
Bonjour
Excellent PDF sur les courbes elliptiques
CE.pdf (imj-prg.fr)
Je relève à la page 54 du doc PDF une coquille
Attention : ce n'est pas une critique (moi je suis une machine-outil et rien d'autre)
Il faut lire $\Delta =u^{12} \Delta ^{\prime }$
Ici en prenant u=1.8 le discriminant changé (lettre D) est bien beaucoup plus petit que l'initial (lettre d)
Excellent PDF sur les courbes elliptiques
CE.pdf (imj-prg.fr)
Je relève à la page 54 du doc PDF une coquille
Attention : ce n'est pas une critique (moi je suis une machine-outil et rien d'autre)
Il faut lire $\Delta =u^{12} \Delta ^{\prime }$
Ici en prenant u=1.8 le discriminant changé (lettre D) est bien beaucoup plus petit que l'initial (lettre d)
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Réponses
Elles seront valables dans tout corps $k$ de caractéristique quelconque
Se reporter aux simplifications données par le document pour les corps $\mathbb {Q},\mathbb {R},\mathbb {C}$
On va considérer sa forme de Weierstrass $y^2=x^3+ax+b$ définie par:
$a=\dfrac {24b_0-a_0^2}{48}$ et $b=\dfrac {a_0^3+216c_0-36a_0b_0}{864}$
$a_0=a_1^2+4a_2,b_0=2a_4+a_1a_3,c_0=a_3^2+4a_6$
Ces deux coefficients $a$ et $b$ sont en fait définis par le moyen d'un changement de variables donné selon
$\left(x,y\right)\mapsto \left(x-\dfrac {a_0}{12},y-\dfrac {a_1}{2}x+\dfrac {a_0a_1-12a_3}{24}\right)$
Le $j-$ invariant de la courbe est donné par l'expression $j=1728\times \dfrac {\left(-16\right)\times 4\times a^3}{\Delta }$
L'ensemble des courbes elliptiques de même classe est donné par un changement de variable sur l'équation initiale selon
$\left(x,y\right)\mapsto \left(u^2x+r,u^3y+u^2sx+t\right)$
$u\in k^*$ et $r,s,t\in k$
$y^2+a^{\prime }_1xy+a^{\prime }_3y=x^3+a^{\prime }_2x^2+a^{\prime }_4x+a^{\prime }_6$
$a^{\prime }_1=\dfrac {1}{u}\times \left(2s+a_1\right)$
$a^{\prime }_2=\dfrac {1}{u^2}\times \left(3r+a_2-s^2-sa_1\right)$
$a^{\prime }_3=\dfrac {1}{u^3}\times \left(2t+ra_1+a_3\right)$
$a^{\prime }_4=\dfrac {1}{u^4}\times \left(3r^2+2a_2r+a_4-2st-a_1rs-a_1t-a_3s\right)$
$a^{\prime }_6=\dfrac {1}{u^6}\times \left(r^3+r^2a_2+ra_4+a_6-t^2-a_1rt-ta_3\right)$