Demi-tour, espace euclidien

OShine

En dimension $3$ les seules isométries de $SO(E)$ positives sont les rotations, je ne vois pas de problème dans mon raisonnement.
Si le déterminant de l'endomorphisme vaut $1$ c'est forcément une rotation.

OShine

b) Si $g$ est un demi-tour alors en écrivant la matrice dans une base orthonormée, on voit que $-1$ est valeur propre. Il existe donc $y \in E$ non nul tel que $g(y)=-y$.
Posons $x= \dfrac{y}{||y||}$ on a $g(x ||y||)= -x ||y||$. Par linéarité de $g$, $||y || g(x)= -x ||y||$ et comme $||y|| \ne 0$ alors $g(x)=-x$ avec $x \in S$.

Réciproquement, si il existe $x \in S$ tel que $g(x)=-x$. Là je bloque.

c) C'est trivial non ? Il suffit de prendre $y=-x$ et d'utiliser la question b) non ? 

gai requin

S'il existe $x\in S$ tel que $g(x)=-x$, alors les valeurs propres de $g$ sont $-1,-1$ et $1$ donc, en désignant par $\theta$ l'angle de $g$, on a $\mathrm{trace}(g)=1+2\cos\theta=-1$ donc $g$ est un demi-tour.

c) Quelque chose comme ça oui.

OShine

Comme quoi ça servait d'écrire la matrice de rotation pour retrouver la trace de $g$. On trouve $\cos \theta = -1$ soit $\theta= \pi [2 \pi]$

Comment tu en déduis de $\exists x \in S \ g(x)=-x$ les valeurs propres ? Je trouve que $-1$ est valeur propre ok. Mais pourquoi les deux autres ne seraient pas $-2$ et $1/2$ ? 

lourrran

Dans une isométrie, une valeur propre de -2 , ou 1/2  ???
Visiblement, tu n'as toujours pas compris la propriété n°1 des isométries.

OShine

En effet ! 
Soit $f$ une isométrie et $\lambda$ une valeur propre. Alors $f(x)= \lambda x$. 
Alors $||f(x)||=||x||= |\lambda | ||x|| $ et comme $x \ne 0$ alors $|\lambda|=1$ donc $\boxed{sp(f) \subset \{-1,1\}}$
d) $\boxed{G \subset SO(E)}$. Il reste à montrer que $SO(E) \subset G$.
On sait que $G$ contient un demi-tour, il faut montrer que $G$ contient tous les demi-tours ? Ainsi, par stabilité par combinaison linéaire on aura le résultat car $SO(E)$ est un groupe ? 

lourrran

Soit $f$ une isométrie et $\lambda$ une valeur propre. Alors $f(x)=\lambda x$   

Non 
Soit $f$ une isométrie et $\lambda$ une valeur propre. Alors il existe $x$ diffférent de 0 tel que $f(x)=\lambda x$   
Si c'est trop difficile d'être rigoureux, il faut arrêter de faire des maths (ou de croire que tu fais des maths).

OShine

J'ai voulu aller trop vite, la fatigue.

gai requin

d) $G$ agit aussi transitivement sur l'ensemble des droites de $E$....

JLapin

OShine a dit :Ainsi, par stabilité par combinaison linéaire on aura le résultat car $SO(E)$ est un groupe ? 

C'est pour éviter ce genre d'horreurs qu'il aurait fallu s'intéresser davantage aux termes de l'énoncé avant d'en aborder la première question et en particulier à la question suivante à laquelle tu n'as toujours pas répondu : pourquoi appelle-t-on "groupe spécial orthogonal" l'ensemble $SO(E)$.

OShine

@JLapin je n'ai rien trouvé sur ce point qui soit compréhensible à mon niveau, ça parle de forme quadratique etc... 
@gai requin
D'accord merci. Montrons que $G$ agit transitivement sur l'ensemble des droites de $E$.
Soit $D$ une droite de $E$. On doit montrer que $\forall (x,y) \in D ,\ \exists g \in G,\ \ g(x)=y$.
On sait que $g \circ \sigma_D \circ g^{-1} =\sigma_{ g(D)}$.
Comme $G$ contient un demi-tour, il existe une droite vectorielle $D$ telle que $\sigma_D \in G$.
Soit $g$ un élément de $G$. Alors, comme $G$ est un groupe, $g \circ \sigma_D \circ g^{-1} \in G$. Donc $\sigma_{ g(D)} \in G$ pour tout $g$.
Après ici je m'embourbe, je ne vois pas comment conclure. 

gai requin

Il faut montrer que pour toutes droites $D,D'$, il existe $g\in G$ tel que $g(D)=D'$.

JLapin

OShine a dit :

@JLapin je n'ai rien trouvé sur ce point qui soit compréhensible à mon niveau, ça parle de forme quadratique etc...

Mais alors, pourquoi tu es encore en train de chercher cet exercice dont tu ne comprends pas les termes de l'énoncé, ce qui fait que tu racontes n'importe quoi, dans le flou le plus total ?

Au passage, il n'y a pas que wikipedia comme ressource pour obtenir une réponse à cette question.

lourrran

Personnellement, j'ai lu le tout début de l'énoncé.
J'ai vu : $\sigma_D$ appartient au groupe spécial orthogonal $SO(E)$.
J'ai donc vu cette expression "groupe spécial orthogonal" , c'est une notion que je ne connais pas.
J'ai immédiatement arrêté la lecture.
Soit je trouve la définition de ce truc, soit je demande la définition de ce truc, mais je ne lis pas la suite.  Ou bien je la lis par curiosité, pour voir si je trouve des indices qui vont me permettre de trouver, mais sans grand espoir. 
Mais je ne vais pas chercher à faire l'exercice tant que je ne saurai pas de quoi on parle. C'est du bon sens qu'un élève de 5ème sait déjà.

Normalement, la première question que tu aurais du poser , c'est : quelle est la définition de "groupe spécial orthogonal".
Bisam a parfaitement compris le problème, il a répondu à cette question, sans que tu la poses.

OShine

@JLapin
Le groupe orthogonal est le sous-groupe composé de toutes les matrices orthogonales qui sont de déterminant +1 ou -1.
Le groupe spécial orthogonal est le sous-groupe des matrices de déterminant égal à $1$.

julian

Des matrices orthogonales !!! 😕... 

Rescassol

Bonjour,

Ben oui: https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_orthogonale

Cordialement,
Rescassol

julian

Je parlais de sa seconde phrase, concernant le groupe spécial orthogonal... Je ne l'aurais pas écrit comme ça. J'aurais dit:le sous-groupe des matrices orthogonales dont le déterminant est égal à 1.

OShine

gai requin a dit :

Il faut montrer que pour toutes droites $D,D'$, il existe $g\in G$ tel que $g(D)=D'$.

Ok merci. Soient $D,D'$ deux droites.
On sait que $\forall g \in G \subset SO(E) \ g \circ \sigma_D \circ g^{-1} = \sigma_{g(D)}$ donc $\forall g \in G \ g \circ \sigma_D \circ g^{-1} (D) = \sigma_{g(D)} (D)$
Donc $\forall g \in G \ g \circ \sigma_D (D)= \sigma_{g(D)} \circ  g(D)$
Soit $\boxed{\forall g \in G \ g \circ \sigma_D (D)= g(D)}$
$g(D)=D'$ donne $ g \circ \sigma_D (D)=D'$ soit $g (D)= \sigma_D ^{-1} (D')= \sigma_D (D')$

gai requin

N'importe quoi !
Soit $D,D'$ deux droites de $E$ et $x,y\in S$ tels que $D=\R x$, $D'=\R y$.
Par hypothèse, il existe $g\in G$ tel que $g(x)=y$.
On en déduit facilement que $g(D)=D'$.

JLapin

OShine a dit :

@JLapin
Le groupe spécial orthogonal est le sous-groupe des matrices de déterminant égal à $1$.

Pas du tout. Il n'y a pas l'ombre d'une matrice dans l'énoncé. On en est donc toujours à comprendre l'énoncé : que signifie donc ce "groupe spécial orthogonal SO(E)".

Quels sont ses éléments et pourquoi parle-t-on de groupe ?

OShine

gai requin a dit :

N'importe quoi !
Soit $D,D'$ deux droites de $E$ et $x,y\in S$ tels que $D=\R x$, $D'=\R y$.
Par hypothèse, il existe $g\in G$ tel que $g(x)=y$.
On en déduit facilement que $g(D)=D'$.

Montrons que $g(D)=D'$. 

Je me suis embourbé, pas réussi à le démontrer.

gai requin

Bon, $y\in g(D)$ qui est une droite donc $g(D)=\R y=D’$.

OShine

@gai requin en effet c'était simple.

Pour toutes droites $D,D'$ on a $g(D)=D'$.

Mais je ne vois pas le lien avec $SO(E) \subset G$ qu'on doit montrer. Je n'ai pas trop compris le rapport avec la question.

@JLapin
L'ensemble des endomorphismes orthogonaux (c'est-à-dire qui conservent le produit scalaire) forment un groupe pour la composition des applications, on l'appelle groupe orthogonal et on le note $O(E)$.
Le sous-groupe du groupe orthogonal constitué des endomorphismes de déterminant $1$ s'appelle groupe spécial orthogonal noté $SO(E)$.
C'est un sous-groupe car il contient l'identité et $\forall f,g \in SO(E) \ \det (f \circ g)= \det f \times \det g = 1 \times 1 = 1$ et si $f \in SO(E)$ alors $\det f^{-1} = 1/ \det f = 1/1=1$.

gai requin

D'après c), il existe une droite $D$ telle que $\sigma_D\in G$.
Pour toute droite $D'$, il existe $g\in G$ tel que $\sigma_{D'}=\sigma_{g(D)}=g\circ\sigma_{D}\circ g^{-1}$ d'après a).
Donc $G$ contient tous les demi-tours et $G=\mathrm{SO}(E)$ d'après l'énoncé.

julian

D'ailleurs OShine, O-(E), sous ensemble de SO(E) formé des endomorphsme de déterminant-1,est-il un groupe ? 

bisam

@Oshine : Ta justification du fait que $SO(E)$ est un sous-groupe de $O(E)$ est insuffisante : tu ne prouves pas que $f\circ g \in SO(E)$ ni que $f^{-1}\in SO(E)$.

Par ailleurs, lorsque $E$ est de dimension 3, le groupe $SO(E)$ est beaucoup plus simple à décrire, géométriquement parlant... et c'est pour cette raison qu'il devient simple de répondre aux questions posées, en raisonnant géométriquement.

Par ailleurs, il est bon de savoir comment a été obtenue la classification des isométries vectorielles positives. Cela aide pour la question b), par exemple.

OShine

@gai requin

Merci très clair ta démonstration.

@bisam
Oui j'ai oublié des choses.
Je n'ai pas de cours clair sur les isométries et de ce que j'ai cherché sur internet c'est très difficile d'en trouver.

lourrran

Dans $\mathbb{R}^3$, les isométries directes (ou positives) sont aussi appelées les déplacements.

Voilà. Maintenant, tu n'as plus besoin de chercher un cours, tu peux écrire un cours.
Faisons-le :
Si je déplace un objet par un déplacement f, puis je le déplace par un déplacement g, au final, j'ai déplacé l'objet.
Donc la composée de 2 déplacements est un déplacement.
Si je déplace un objet, je peux le ramener à sa position initiale : chaque déplacement est inversible.
Si je déplace un objet, la taille de cet objet ne change pas, et sa forme non plus : Un déplacement ne déforme pas les objets, il conserve les dimensions.
etc.

Parmi les déplacements, on va s'intéresser à une partie d'entre eux : les demi-tours :
Si je prends un cube que que je lui fait faire un demi tour autour d'une arête, puis un autre demi-tour autour de la même arête ...
Si je prends un cube que que je lui fait faire un demi tour autour d'une arête, puis un autre demi-tour autour d'une autre arête, non parallèle à la première...

Maintenant, les isométries indirectes (ou négatives). C'est quoi ? 

OShine

Une symétrie orthogonale par exemple, on inverse l'orientation.

lourrran

Tu peux enlever les 2 mots 'par exemple' dans ta réponse. Ce sera mieux.
Si tu avais complété les points de suspension dans l'avant dernier paragraphe, tu aurais eu un support de cours presque complet sur les demi-tours.

JLapin

OShine a dit :

Une symétrie orthogonale par exemple, on inverse l'orientation.

Non, pas toutes. Le déterminant d'une symétrie orthogonale quelconque ne vaut pas toujours $-1$.

julian

??? Dans un corps fini, Z/pZ, avec p  premier, le déterminant d'une isométrie indirecte peut valoir 1? Parce un corps de caractéristique nulle, je ne vois pas... 

gai requin

Ne pas confondre symétrie orthogonale et réflexion !

julian

Oui... Le risque de me Oshiniser est grand... Mieux vaut reprendre un bon livre de géométrie, et commencer par le chapitre 1, ou 0, c'est est selon

lourrran

Qu'entend-on par réflexion, dans $\mathbb{R}^3$ ou par symétrie orthogonale ?

Pour moi, mon interprétation, parmi les symétries orthogonales, il y a les symétries par rapport à un plan (négatives) et les symétries par rapport à une droite (nos fameux demi-tours).  (et toutes les déclinaisons si on est en dimension supérieure à 3)
Ici,   https://lexique.netmath.ca/symetrie-orthogonale/ , je croise cette définition : 
Symétrie orthogonale = Symétrie axiale dans laquelle la direction de symétrie e est perpendiculaire à l’axe de la symétrie.

Bon... le contexte n'est pas précisé. Peut-être qu'ils se limitent à $R^2$ ?

Certains mots peuvent être à géométrie variable, le tout est de savoir de quoi on parle, et d'être clair.  Dans les discussions initiées par OShine, c'est une autre histoire, la clarté est la dernière des préoccupations.

JLapin

Réflexion = symétrie orthogonale d'axe un hyperplan.

Plus généralement, le caractère positif ou négatif d'une symétrie orthogonal dépend de la dimension de l'axe et de l'espace ambiant (plus précisément, de la codimension de l'axe...).

OShine

JLapin a dit 

Non, pas toutes. Le déterminant d'une symétrie orthogonale quelconque ne vaut pas toujours $-1$.

Vaut mieux que j'étudie un bon cours avant de parler alors. 

julian

C'est ce que tu as de mieux à faire en effet. 

lourrran

Réflexion = symétrie orthogonale d'axe un hyperplan.

Et dans un espace de dimension $n$, $n$ élevé, si l'axe est de dimension $n-3$ ou $n-5$, on ne parle pas de symétrie ? 
On pourrait, ce serait relativement cohérent.

JLapin

Si, mais cette symétrie négative n'est pas une réflexion.

lourrran

lol, je me trompe dans ma question, et du coup j'ai une réponse 'oui'.