Défi du week-end

raoul.S

Je propose ce petit défi.

Soit $(E,\|.\|)$ un espace normé et $B\subset E$ un sous-ensemble borné vérifiant : 
1) $\ 0\in B$
2) $\ \forall b\in B,\ -b\in B$
Montrer que si $f:B\to B$ est une isométrie surjective alors $f(0)=0$.

Application : toute isométrie surjective de la boule unité dans elle même fixe 0.

MrJ

Quelle est la définition d’isométrie considérée ? Est-elle linéaire ? Fixe-t-elle la norme ou la distance ?

Édit : Pour la linéarité, j’aurais pu deviner avec la question.

Barjovrille

Bonjour, j'allais poser la même question, moi j'ai directement penser à $||f(x)||=||x||$ (mais ce n'est pas très interessant)

J'opte pour l'isométrie de raoul n'est pas linéaire et $||f(x)-f(y)||=||x-y||$

A raoul.S de confirmer

raoul.S

La définition est juste la suivante : $\forall x,y\in B, \|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$.

Donc aucune hypothèse de linéarité.

Soc

On considère un élément b de B qui maximise la distance à 0 sur B.
Il est sur la sphère S de rayon ||b|| ainsi que -b.
La distance entre f(b) et f(-b) vaut ||2b|| ce qui impose que f(b) et f(-b) soient sur la même sphère S et diamétralement opposés.

Par conservation du milieu f(0)=0.

Peut-être un problème d'existence du max en dimension infinie?

Calli

Bonjour,
@Soc, oui il y a un problème d'existence de ton max. Même en dimension finie car $B$ n'est pas forcément fermé. Et quand tu dis

ce qui impose que f(b) et f(-b) soient sur la même sphère S et diamétralement opposés.

Par conservation du milieu f(0)=0.

il me semble que ça ne marche qu'avec une norme euclidienne. Ou alors il faudrait des précisions, notamment qu'est-ce que cette "conservation du milieu".

PS : C'était un peu naïf de croire que le "défi du week-end" serait aussi facile.

bisam

@Soc : Pourquoi aurait-on conservation du milieu ? Rien ne dit que la norme est euclidienne... et par conséquent, on peut seulement affirmer que $f(0)$ est équidistant de $f(b)$ et $f(-b)$.
Quant au problème du "max", il vient surtout du fait que rien ne garantit que $B$ soit fermé, que l'on soit en dimension finie ou non.

Soc

Ok, pas taper sur la tête! Objections retenues. Doit y avoir moyen d'enjoliver ça!

gebrane

Raoul veut nous faire démontrer un théorème ?  https://www.math.uci.edu/~brusso/slid031518fullbis.pdf

JLT

Appelons pseudo-symétrie centrale (psc) une isométrie surjective $g:B\to B$ telle qu'il existe $a\in B$ vérifiant $||g(x)-x||=2||x-a||$ pour tout $x\in B$. Nécessairement $a$ est l'unique point fixe de $g$. Remarquons que si $h:B\to B$ est une isométrie surjective et $g$ est une psc de point fixe $a$, alors $hgh^{-1}$ est une psc de point fixe $h(a)$. Si de plus $h$ est une psc de point fixe $b$ alors on a ainsi construit une nouvelle psc de point fixe $c$ telle que $||c-b||=||h(a)-b||=2||a-b||$ (Edit: il y a une petite erreur, voir message plus bas). Par récurrence on construit une suite de psc dont les points fixes $c_n$ vérifient $||c_n-b||=2^n ||a-b||$ ce qui contredit le fait que $B$ est borné. On voit donc que toutes les psc ont le même point fixe.

Considérons maintenant $g(x)=-x$. L'application $g$ est une psc, ainsi que $fgf^{-1}$. Comme elles ont le même point fixe on en déduit que $f(0)=0$.

raoul.S

Avec JLT dans les parages le défi n'aura pas duré longtemps...

Sauf qu'il existe une preuve que je trouve quand même plus simple que la tienne JLT  Mais bon tu n'as pas eu le temps de peaufiner la tienne.

En fait cette proposition est un lemme dû au mathématicien Jussi Väisälä (heureusement que je ne dois pas le prononcer...). Donc gebrane tu avais raison dans un sens. Je l'ai découvert durant mes pérégrinations pour trouver une preuve qui répondait par la négative à la question ICI (je me fais de la pub).

J'ai voulu vous le proposer en défi car l'énoncé est simple et intuitif : on se rend compte que $0$ est "centre de gravité" de $B$ et qu'on doit avoir $f(0)=0$ mais que ce n'est pas facile à prouver bien que la preuve soit élémentaire (mais pas du tout triviale).

Bref, voici la preuve de Jussi Väisälä que je trouve vraiment élégante :

Preuve : soit $W$ l'ensemble des isométries surjectives de $B$ dans $B$ ($W$ n'est pas vide car il contient l'identité). Considérons $\lambda:=\sup\{\|g(0)\|\mid g\in W\}$. Vu que $B$ est borné, $\lambda<+\infty$. Montrons que $\lambda=0$ ce qui prouvera le lemme.

Soit $f\in W$ et $i:B\to B, x\mapsto -x$. Alors $f^{-1}\circ i\circ f\in W$ et par conséquent $\lambda\geq \|f^{-1}\circ i\circ f(0)\|=\|i\circ f(0)-f(0)\|=2\|f(0)\|$. Donc $\lambda\geq 2\|f(0)\|$ pour tout $f\in W$. En prenant le sup sur $W$ on en déduit que $\lambda\geq 2\lambda$ et donc que $\lambda =0$.

JLT

Si on retire les trucs inutiles dans ma preuve on retombe sur la sienne.

Si on en croit le synthétiseur vocal de Google, Väisälä se prononce tout simplement "va y ça là"

raoul.S

JLT a dit :

Si on retire les trucs inutiles dans ma preuve on retombe sur la sienne.

Hum, tu utilises le fait que $B$ soit borné d'une façon totalement différente quand-même.

JLT

Ben dans nos preuves on a un ensemble borné de réels positifs $X$ tel que pour tout $x\in X$ on a $2x\in X$. Il dit que $2\sup X \leqslant \sup X$ donc $\sup X=0$. Et moi j'ai dit que si $\alpha>0$ appartient à $X$ alors $2^n\alpha\in X$ pour tout $n$ et on a une contradiction. Bref j'ai rajouté une complication pour rien (et une autre ailleurs) mais l'idée reste la même.

raoul.S

@JLT ok mais du coup j'ai relu plus attentivement ta preuve et même si je comprends l'idée générale, je commence à m'embrouiller pour la mise en œuvre de la construction de la suite $(c_n)$.

1) Lorsque tu dis JLT a dit :

Si de plus $h$ est une psc de point fixe $b$ alors on a ainsi construit une nouvelle psc de point fixe $c$ telle que $||c-b||=||h(a)-b||=2||a-b||$.

il ne faudrait pas plutôt écrire $||c-a||=||h(a)-a||=2||a-b||$ ?

2) J'essaie de construire ta suite $(c_n)$. Je prends la psc $g(x)=-x$ de pont fixe $0$, donc $c_0=0$. Puis je suppose qu'il existe une isométrie surjective $h$ telle que $h(0)\neq 0$. Je me retrouve donc avec une nouvelle psc qui est $hgh^{-1}$ de point fixe $h(0)$ et on a $||hgh^{-1}(0)||=2||h(0)||$. On pose $c_1:=h(0)$. Et ensuite tu fais comment pour obtenir $c_2 ?

JLT

Oui pardon je me suis embrouillé, c'est bien $||c-a||=2||a-b||$. Donc on part de $g(x)=-x$, puis on construit $h_1=hgh^{-1}$ de point fixe $c_1=h(0)$, puis $h_2=h_1gh_1^{-1}$ de point fixe $c_2=h_1(0)$, etc.

raoul.S

Ok merci. Oui maintenant je vois que c'est fondamentalement la même preuve.

raoul.S

Au cas où ça peut intéresser quelqu'un d'approfondir un peu le sujet des isométries, j'ajoute ce document trouvé sur arxiv écrit par Osamu Hatori qui contient une preuve élémentaire d'une version locale du théorème de Mazur-Ulam.

Voici l'énoncé : Soient $B_1, B_2$ deux espaces vectoriels réels normés. Soit $U_1$ un ouvert non vide étoilé et $T:U_1\to B_2$ une isométrie telle que $T(U_1)$ est ouvert dans $B_2$, alors $T$ est la restriction à $U_1$ d'une isométrie affine surjective. Dit autrement, il existe une isométrie linéaire surjective $A:B_1\to B_2$ et $u\in B_2$ tels que $\forall x\in U_1, T(x)=Ax+u$. 

[Utilisateur supprimé]

raoul.S a dit :

(...)
Oui maintenant je vois que c'est fondamentalement la même preuve.

Oui, d'une certaine façon, ce qui est fondamental est (toujours ?) souvent unique (en 1ère approximation en tout cas). 

rakam

Je n'ai pas tout lu mais pour répondre à quelques objections du début, je signale qu'une isométrie surjective entre evn est toujours une application affine et conserve les milieux.

Soc

Je dois dire à leur décharge que je m'étais effectivement placé en géométrie euclidienne.

Après investigation, en dimension finie le fait qu'une isométrie soit nécessairement affine semble utiliser le résultat que l'on démontre ici.

raoul.S

@Soc le résultat partagé sur ce fil est utilisé pour démontrer la version locale du théorème de Mazur-Ulam (c'est une généralisation du résultat mentionné par rakam). La dimension de l'ev n'entre pas en compte. Comme déjà dit dans mon dernier message, la preuve est élémentaire et vaut le coup d’œil.

Bon, je poste directement le PDF récupéré sur arxiv c'est plus pratique pour consultation.

Soc

Ici il n'y a pas de dimension finie, mais on a la surjectivité, la symétrie et la bornitude!

gebrane

Bonjour,

Si on remplace E par  un Hilbert la démonstration devrait être plus simple ,non?

JLT

Dans un Hilbert (ou plus généralement dans un espace strictement convexe), si $g(x)=-x$ alors pour tout $x\in B$, $||f(x)-f(g(x))||=2||f(x)-f(0)||=2||f(0)-f(g(x))||$ donc $f(0)$ est le milieu de $[f(x),f(g(x))]$. Par conséquent $B$ est invariant par la symétrie centrale $h$ de centre $f(0)$, et donc par $h\circ g$ qui est la translation de vecteur $2f(0)$. Comme $B$ est borné, ceci impose que $f(0)=0$.

gebrane

Merci @JLT  
Que peut-on dire de la linéarité de f   ( $f(x)=a.x,\,  \forall x\in B$),  dans les deux cas d'espaces Banach ou Hilbert

raoul.S

@gebrane dans le cas d'un Banach il n'y a pas linéarité en général même en dimension finie.

Exemple : on considère $B:=\{(0,0), (-1,1), (1,1), (1,-1), (-1,-1)\}\subset \R^2$ et $E:=(\R^2, \|.\|_{\infty})$. Alors l'application $f:B\to B$ qui inverse les points $(-1,1)$ et $(1,1)$ est une isométrie surjective qui n'est pas la restriction d'une application linéaire.

PS. pour un Hilbert je ne sais pas, à voir...

gebrane

Dans un Hilbert (réel) je pense que c'est trivial, car dans ce cas on aura <f(x),f(y)>=<x,y> ( on a une isométrie avec f(0)=0) et en développant ||f(x+y)-f(x)-f(y)||² je trouve 0 sauf erreur

raoul.S

Oui mais $x+y$ n'est pas forcément dans $B$.

gebrane

Je crois que je rate quelques choses, je me suis dit que f est linéaire sur B si $\forall x\in B,\forall y\in B,$ avec $x+y\in B$, on a $f(x+y)=f(x)+f(y)$

raoul.S

Ah ok dans ce sens oui ça marche. Je pensais que tu voulais montrer que $f$ se prolonge en une application linéaire à l'espace entier.

gebrane

Je laisse la linéarité globale  (prolongement linéaire sur tout l'espace )  pour GLT   

raoul.S

Oui, oui moi aussi

Keynes

C'est un bon exo 

gebrane

Vas-y @Keynes Tu as notre encouragement