Démonstration du théorème de Rouché
Bonjour
Je bute sur un enchainement dans la démonstration du théorème de Rouché.
U simplement connexe
f et g deux fonction méromorphes sur U avec un ensemble fini F de pôles et de zéros.
Soit gamma un chemin fermé à image dans U\F délimitant un compact K.
Si | f(z) - g(z) | < | g(z) | sur gamma alors
Zf - Pf = Zg - Pg.
Dans la démonstration il y a construction d'une fonction h = f / g
f et g ne s'annulant pas sur gamma on a sur gamma | h(z) - 1 | < 1 donc l'image de gamma par h est incluse strictement dans le disque de centre (1,0) et de rayon 1.
C'est là que je comprends plus car dans la littérature cela suffit pour invoquer le principe de l'argument et dire que l'intégrale sur gamme de h'/h est nulle.
Pour moi l'intégrale sur gamma de h'/h devrait être égale à Zh - Ph, et je ne vois pas pourquoi on aurait Zh = Ph = 0 à l'intérieur de gamma.
Pourquoi si l'image de gamma par h est située dans le disque de centre (1,0) et de rayon 1, h ne pourrait à l'INTÉRIEUR de gamma posséder des zéros ou des pôles ?
Quelque chose m'échappe ...
Merci beaucoup.
Je bute sur un enchainement dans la démonstration du théorème de Rouché.
U simplement connexe
f et g deux fonction méromorphes sur U avec un ensemble fini F de pôles et de zéros.
Soit gamma un chemin fermé à image dans U\F délimitant un compact K.
Si | f(z) - g(z) | < | g(z) | sur gamma alors
Zf - Pf = Zg - Pg.
Dans la démonstration il y a construction d'une fonction h = f / g
f et g ne s'annulant pas sur gamma on a sur gamma | h(z) - 1 | < 1 donc l'image de gamma par h est incluse strictement dans le disque de centre (1,0) et de rayon 1.
C'est là que je comprends plus car dans la littérature cela suffit pour invoquer le principe de l'argument et dire que l'intégrale sur gamme de h'/h est nulle.
Pour moi l'intégrale sur gamma de h'/h devrait être égale à Zh - Ph, et je ne vois pas pourquoi on aurait Zh = Ph = 0 à l'intérieur de gamma.
Pourquoi si l'image de gamma par h est située dans le disque de centre (1,0) et de rayon 1, h ne pourrait à l'INTÉRIEUR de gamma posséder des zéros ou des pôles ?
Quelque chose m'échappe ...
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