Une enveloppe de droites
Bonjour,
Voici une construction réalisée à partir du sujet de concours de l'École de l'Air MP 2002 :
$M$ est un point du cercle de centre $A(1/2,0)$ passant par $O(0,0)$.
$M'$ symétrique de $M$ par rapport à $(OA)$, $m$ milieu de $[HM']$.
$(Om)$ recoupe le cercle en $N$.
La droite symétrique de $(MM')$ par rapport à $A$ coupe $(OM)$ en $P$ et $(ON)$ en $n$.
$Q$ symétrique de $N$ par rapport au milieu $K$ de $[mn]$.
Quelle est l'enveloppe des droites $(PQ)$ lorsque $M$ varie sur le cercle ?
Bonne journée, Ludwig
Voici une construction réalisée à partir du sujet de concours de l'École de l'Air MP 2002 :
$M$ est un point du cercle de centre $A(1/2,0)$ passant par $O(0,0)$.
$M'$ symétrique de $M$ par rapport à $(OA)$, $m$ milieu de $[HM']$.
$(Om)$ recoupe le cercle en $N$.
La droite symétrique de $(MM')$ par rapport à $A$ coupe $(OM)$ en $P$ et $(ON)$ en $n$.
$Q$ symétrique de $N$ par rapport au milieu $K$ de $[mn]$.
Quelle est l'enveloppe des droites $(PQ)$ lorsque $M$ varie sur le cercle ?
Bonne journée, Ludwig
Réponses
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Bonjour,Le point de contact est $P$ lui-même de coordonnées $\left(\dfrac{1-\cos\,t}{2},\dfrac{\sin\,t\,(1-\cos\,t)}{2(1+\cos\,t)}\right)$On obtient la cissoïde d'équation $y^2=\dfrac{x^3}{1-x}$Vu le résultat, il y a peut-être moyen de trouver une solution à partir d'une définition de cissoïde.
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Exactement, j'ai construit $P$ comme un point de la cissoïdale de pôle $O$ du cercle de centre $A$ passant par $O$ et de la tangente $x=1$. On obtient la célèbre cissoïde de Dioclès.
On paramétrise la courbe par $x=t^2/(1+t^2)$ et $y=tx$ et on note $P(t_0)$. Dans le sujet du concours de l'Ecole de l'Air 2002 on montre que la tangente en $P$ recoupe la courbe au point de paramètre $-t_0/2$. C'est le point $Q$ de ma figure, obtenu facilement (vu que $y=tx$) par une construction cissoïdale tout comme $P$. -
Oui Ludwig, ma paramétrisation n'était pas folichonne; j'étais parti de $M(t)\left(\dfrac{1}{2}(1+\cos\,t),\dfrac{1}{2}\sin\,t\right)$ et les calculs étaient ... pénibles.En posant $u=\tan\,\dfrac{t}{2}$ d'où $M(u)\left(\dfrac{1}{1+u^2},\dfrac{u}{1+u^2}\right)$, les choses se passent beaucoup mieux : on tombe sur le point de contact $P\left(\dfrac{u^2}{1+u^2},\dfrac{u^3}{1+u^2}\right)$
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Une construction plus claire du point $P(t_0/2)$ à partir du point $P(t_0)$ :
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Une autre construction : $O(0,0)$ et $A(1,0)$, $O'$ symétrique de $O$ par rapport à $A$.
$M$ point de $x=0$. La médiatrice de $[O'M]$ coupe la perpendiculaire à $(OM)$ passant par $M$ en $P$ et la parallèle à $(O'M)$ passant par $O$ en $S$. $Q$ milieu de $[OP]$.
La droite bleue est la perpendiculaire à $(SQ)$ passant par $S$.
Enveloppe de la droite bleue lorsque $M$ varie ?
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Bonjour à tousJ'essaye de me mettre dans la peau d'un étudiant d'aujourd'hui qui ne connait de la géométrie que les axiomes de Thalès et de Pythagore.La seule conique qu'il connait le mieux reste le cercle trigonométrique, alors ne lui parlons pas de cissoïde qu'il ne rencontrera jamais en dehors de ce forum.La bonne démarche à suivre est d'aller sur le site de mathcurve pour nous expliquer ce qu'est une cissoïde puis de faire le joint avec ce problème de concours.Ci dessous une figure (à commenter) inspirée de ce site.Amicalementpappus
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Bonsoir pappus,
Tu as utilisé la construction cissoïdale de la cissoïde : un point $S$ variable sur une tangente $(t)$ au cercle, $O$ un point de ce cercle, $(OS)$ recoupe le cercle en $R$ et le point $M$ est tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{RS}$. La cissoïde est alors le lieu de $M$ lorsque $S$ varie sur la tangente.
Pour avoir la tangente en $M$ : la tangente au cercle en $R$ coupe $(t)$ en $\rho$, et $\mu$ est le symétrique de ce point par rapport à $S$. La droite $(M\mu)$ est la tangente en $M$ à la cissoïde, ce qu'il faudra expliquer.
Lorsque le point de contact $T$ de $(t)$ avec le cercle est diamétralement opposé à $O$ on obtient la cissoïde droite, et alors $T\rho$ est aussi égal à $\rho S$.
Amicalement, Ludwig
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Merci Ludwig
Tu as bien commenté ma figure mais avant de faire le joint avec le problème du concours, il faut expliquer la construction de la tangente en $M$ à la cissoïde, en bleu sur ma figure.
Amicalement
pappus -
Un début de preuve : je prends $S$ et $S'$, deux points assez proches sur la tangente en $T$ et je construis les points $M$ et $M'$ correspondants sur la cissoïde. On commence par prouver que $\rho S'=S \mu$ puis on fait tendre $S'$ vers $S$.
Une bonne journée, Ludwig
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Merci LudwigOui, c'est la méthode (affine) suivie par nos anciens!Elle porte un nom connu: la méthode des tr.........es et je crois qu'elle est due à de Longchamps (sous toute réserve!).Tu dis : on commence!Eh bien, commence!Amicalementpappus
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Je commence je commence... très très lentement, car j'utilise la méthode des trottinettes comme tu l'as indiqué. Ah non ce n'était pas ça ? La méthode des trapèzes alors, mais où sont les parallèles sur la figure ?
J'ai pensé me lancer dans des calculs de coordonnées mais ils sont certainement horribles. Un calcul d'aire peut-être ? Hum je ne vois pas trop non plus. Avec une transformation bien choisie ? Je verrais bien une projection : celle qui à un point $X$ du cercle associe l'intersection de la droite $(OX)$ avec la tangente en $T$. Et alors on utilise une propriété de conservation des longueurs.
Pourquoi cette égalité $\rho S'=S \mu$ marche ici ? C'est parce qu'on est parti d'un cercle je crois. Si on fait une construction similaire à partir d'une ellipse il n'y aura plus cette égalité. Donc c'est parce que les rayons de courbure en $R$ et $R'$ sont les mêmes qu'on a cette égalité de distance. Mais je raconte peut-être n'importe quoi.
Un petit indice ? -
Bonsoir LudwigTu as écrit noir sur blanc:Tu as utilisé la construction cissoïdale de la cissoïde.Une phrase un peu bizarre qui m'avait fait croire que tu avais compris ce qui se passait!Je vois qu'il n'en est rien!On peut commencer à divaguer.Soit toutes les constructions de la cissoïde sont cissoïdales soit il existe des constructions cissoïdales de courbes qui ne sont pas des cissoïdes.Il faut trancher.Et tout d'abord qu'est-ce qu'une construction cissoïdale dont tu nous as laissé croire que tu connaissais la définition?Amicalementpappus
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Bonne nuit à tousNe vaut-il pas mieux parler de transformation cissoïdale: $M\mapsto M'$, plutôt que de construction cissoïdale?Amicalementpappus
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Bonjour à tousNos anciens ne possédaient pas le vocabulaire de la théorie des ensembles, pourtant ils étaient parfaitement conscients de ce qu'ils faisaient!Leur problème était le suivant: soit $f:M\mapsto M'$ la transformation cissoïdale définie sur ma figure précédente.On suppose que le point $M$ décrit une courbe $\gamma$.Le point $M'=f(M)$ va alors décrire une courbe $\gamma'=f(\gamma)$.Voici en fait la question intéressante suggérée par ce problème de concours déniché par notre ami Ludwig!Connaissant la tangente en $M$ à la courbe $\gamma$, comment construire la tangente en $M'$ à la courbe $\gamma'$?J'ai dit dans un autre fil voisin que pour avoir de solides connaissances en géométrie, il fallait maitriser ses exposés anciens et modernes.C'est le moment ou jamais de le vérifier:1° Comment faisaient nos anciens pour construire cette tangente?Eh bien, ils utilisaient la méthode des transversales.Mais en quoi consiste cette méthode?2° Comment doit procéder l'étudiant d'aujourd'hui dont les connaissances en géométrie du triangle se limitent à décompter le nombre de ses sommets?Amicalementpappus
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Bonjour à tous,Il me semble que dans cette configuration, il faille démontrer que $[PP_1]$ et $[TT']$ ont même milieu.
Ensuite lorsqu'on fait tendre $M_1$ vers $M$, les intersections de la tangente en $M$ et de la tangente en $M'$ avec la droite rouge ont pour milieu $P$.Amicalement. -
Bonjour pappus,
Ta méthode que j'ai commenté plus haut se généralise : la tangente en $M$ à $\gamma$ coupe $(D)$ en $\rho$, $\mu$ est le symétrique de $\rho$ par rapport à $P$. Et alors $(M' \mu)$ est la tangente à la courbe $\gamma'$ en $M'$.
Quant à cette méthode des transversales je suppose que c'est celle qui consiste à prendre deux points $M$ et $N$ assez proches sur $\gamma$, de construire leurs images $M'$ et $N'$ par ta transformation cissoïdale, d'étudier les droites $(MN)$ et $(M'N')$. Ces droites sont les transversales sans doute. Pour avoir les tangentes on fait tendre $N$ vers $M$. Amicalement, Ludwig -
Bonjour LudwigNon, tu n'as toujours pas compris ce qui se passait.Il s'agit de faire intervenir la théorie des transversales isotomiques de la géométrie du triangle.Ce n'est donc ni anodin ni évident.Ceux qui ne savent que dénombrer les sommets d'un triangle devront donc se rabattre sur des méthodes beaucoup plus modernes.Amicalementpappus
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D'accord ! Je crois que j'ai compris cette théorie des transversales isotomiques. Je l'applique sur ma figure de la cissoïde : on dira que, dans le triangle $OSS'$ les droites $(MM')$ et $(RR')$ sont, par construction, des transversales isotomiques : elles coupent $(OS)$ en $M$ et $R$ symétriques par rapport au milieu de $OS$, elles coupent $(OS')$ en $M'$ et $R'$ symétriques par rapport au milieu de $OS'$. Et la théorie nous apportera la réponse sur un plateau : ces deux droites coupent alors $(SS')$ en deux points isotomiques ! C'est terminé, il ne reste plus qu'à passer à la limite pour avoir une construction de la tangente.
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Merci LudwigTu as fais honneur aux anciens!Bravo!Maintenant mets toi dans la peau d'un étudiant d'aujourd'hui préparant son CAPES ou son agrégation et qui ne connait rien en géométrie en dehors des axiomes de Thalès et de Pythagore.Par contre il majore dans les autres parties (et elles sont nombreuses!) du programme de Mathématiques!Comment va-il procéder?Amicalementpappus
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OK
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Bonjour LudwigTu as eu tort de faire référence au problème du concours dans ta dernière figure.Tu remarques que la transformation cissoïdale n'utilise aucune structure euclidienne.La structure affine du plan suffit à la définir.La théorie des transversales isotomiques appartient aussi à la géométrie affine.Donc cette histoire de transformation cissoïdale appartient à la géométrie affine.Tu aurais dû faire ta figure dans ce cadre et ne tracer aucun cercle!Maintenant je t'attends sur la preuve moderne qui elle aussi appartient à la géométrie affine!Amicalementpappus
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Bonne nuit à tous et faites de beaux rêvesPour une démonstration moderne, il n'y a pas grand chose à changer à ma figure sauf à rajouter quelques éléments de détail!Amicalementpappus
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Bonjour à tous,Dans le repère choisi par pappus, on a $M'\left(1-x,\dfrac{y(1-x)}{x}\right)$ et $P\left(1,\dfrac{y}{x}\right)$Si on note $k=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ et $k'=\dfrac{\text{d}y'}{\text{d}x'}$, on obtient la relation :$k'=\dfrac{x-1}{x}k+\dfrac{y}{x^2}$$S$ et $S'$ étant les intersections des tangentes en $M$ et $M'$ avec $D$, on a:$Y_S=k(1-x)+y$ et $Y_{S'}=k(x-1)+\dfrac{2y}{x}-y$On vérifie que le milieu de $[SS']$ est $P$.Amicalement.
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Merci Cailloux et Bravo!Evidemment, la méthode à suivre est la géométrie analytique et le calcul différentiel.Le point clé est ta relation:$$k'=\dfrac{x-1}xk+\dfrac y{x^2}$$Je suis un peu déçu que tu ne sois pas rentré dans les détails pour tes lecteurs frustrés.Amicalementpappus
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Bonjour pappus,Je ne suis pas sûr que mon calcul (naïf) soit le plus indiqué. Néanmoins voici :$\begin{cases}x'=1-x\\y'=\dfrac{y(1-x)}{x}\end{cases}$On différencie :$\begin{cases}\text{d}x'=-\text{d}x\\\text{d}y'=\dfrac{\partial y'}{\partial x}\text{d}x+\dfrac{\partial y'}{\partial y}\text{d}y\end{cases}$$\begin{cases}\text{d}x'=-\text{d}x\\\text{d}y'=-\dfrac{y}{x^2}\text{d}x+\dfrac{1-x}{x}\text{d}y\end{cases}$Puis en effectuant le rapport :$\dfrac{\text{d}y'}{\text{d}x'}=\dfrac{y}{x^2}+\dfrac{x-1}{x}\,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$Amicalement.
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Merci CaillouxEffectivement ce n'était pas très dur mais encore fallait il le faire!Bravo!Tu as fait le joint avec la construction de nos anciens.Encore une fois Bravo.Ce qui importe dans cette histoire, c'est la matrice que tu n'as pas écrite mais qui porte un nom très précis:$$\begin{pmatrix}-1&0\\-\dfrac y{x^2}&\dfrac{1-x}x\end{pmatrix}$$Quel est ce nom?Peut-on trouver grâce à ce calcul matriciel d'autres constructions que celle de nos anciens?Amitiéspappus
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La matrice jacobienne, du nom du mathématicien allemand Charles Jacobi. Je donne son inverse, au cas où : $$\left(\begin{array}{rr}-1&0\\\dfrac{y}{x^{2} - x}&\dfrac{-x}{x - 1}\\\end{array}\right)$$
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Merci LudwigOui, c'est la matrice jacobienne dont le déterminant est un wronskien.Cette matrice définit un endomorphisme de $\mathbb R^2$ qui lui aussi porte un nom.Lequel?Amicalementpappus
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Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.L'écriture en coordonnées homogènes de la transformation cissoïdale; $(x,y)\mapsto (1-x,\dfrac{y(1-x)}x)$ est:$$(x:y:z)\longmapsto (x(z-x):y(z-x):xz)$$On dirait donc bien que c'est une transformation quadratique.Mais est-ce une transformation de Cremona?Amicalementpappus
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Bonjour pappus,
C'est bien une transformation de Cremona (ou transformation birationnelle) car $f$ est rationnelle et il existe $g$ rationnelle telle que $f \circ g = g \circ f = id$, et ce $g$, c'est $f$! Cela va sans doute permettre d'écrire d'une autre façon la transformation cissoïdale $f$, en la décomposant dans le groupe des transformations birationnelles. Et du coup récupérer d'autres constructions géométriques liées à $f$. Ou pas du tout !
Quant au nom de l'endomorphisme de $\mathbb R^2$ défini par la matrice jacobienne il s'agit de l'application linéaire tangente.
Amicalement, Ludwig -
Merci LudwigC'est presque ça!Soit $f:(x,y)\mapsto (1-x,\dfrac{y(1-x)}x)$ la transformation cissoïdale.Alors l'application:$$\mathbb R^2\longmapsto \mathbb R^2: (h,k)\mapsto (-h,-\dfrac y{x^2}h+\dfrac{1-x}xk)$$est l'application dérivée de $f$ au point $(x,y)$.Cartan la note $f'(x,y)$: Cartan, Cours de Calcul différentiel, Hermann 1977, page 29.Dieudonné hésite entre la notation de Cartan et la sienne $Df(x,y)$: Dieudonné, Eléments d'Analyse, Tome I, Fondements de l'Analyse Moderne, Gauthier-Villars, 1972, page 151.L'application linéaire tangente, c'est encore autre chose et tu t'avances dangereusement sur un terrain mouvant, la théorie des variétés.Ici comme on travaille concrètement sur un ouvert $U$ de l'espace vectoriel $\mathbb R^2$, (question perfide, lequel au fait?), l'application linéaire tangente se lit ainsi:$$Tf(x,y;h,k):U\times \mathbb R^2\longmapsto U\times \mathbb R^2; (x,y;h,k)\mapsto (1-x,\dfrac{(1-x)y}x;-h,-\dfrac y{x^2}h+\dfrac{1-x}xk)$$Amicalementpappus
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On travaille sur $\mathbb R^2$ privé de la droite $x=0$, qui est bien un ouvert de $\mathbb R^2$.
En utilisant la réduction de Gauss on obtient cette autre écriture en coordonnées homogènes de la transformation cissoïdale $f$ :
$$(x:y:z)\longmapsto ((x+z)^2-3x^2-z^2 : (y+z)^2-(x+y)^2+x^2-z^2 : (x+z)^2-x^2-z^2).$$ Est-ce qu'on peut en tirer quelque chose ?
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Merci LudwigBravo d'avoir identifié l'ouvert $U$.Si on veut avoir la bijectivité, il faut encore réduire l'ouvert $U$.Ne fais pas de fixation sur cette histoire de transformation quadratique.Ici nous restons au ras du niveau des pâquerettes!Le point $M$ étant donné, quel est le lieu de l'intersection des tangentes $\Omega=MT\cap M'T'$ quand la tangente $MT$ pivote autour du point $M$?En déduire une autre construction de la tangente $M'T'$.Amicalementpappus
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Le lieu du point $\Omega$ lorsque la tangente $(MT)$ tourne autour de $M$ est une droite parallèle à $(D)$. Je n'ai pas encore trouvé une construction géométrique du point $B$ intersection de cette droite avec $(OM)$ mais on a $BM= \dfrac{MC \times MP}{PC}$, où $C$ est le milieu de $[OP]$, ce qui me rappelle quelque chose.
En fait on a pas vraiment besoin du point $B$ pour obtenir la construction de la tangente $(M'T')$, il suffit de tracer la parallèle à $(D)$ passant par un point $\Omega_0$ obtenu à partir d'une position particulière $(MT_0)$ de la tangente $(MT)$. Ensuite on place $\Omega$ l'intersection de cette droite-lieu avec $(MT)$ et la tangente $(M'T')$ est la droite $M'\Omega$.
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Merci LudwigLe point $B$ était parfaitement identifiable par les lycéens acnéiques de la classe de Seconde autrefois!Amicalementpappus
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Oui, il y a une division harmonique dans l'air. J'ai dû appuyer sur les mauvais boutons.
À demain, Ludwig -
Bonjour à tous
Je me permets une petite critique quant aux problèmes posés par Ludwig.Dans les deux cas (cissoïde pour le premier, strophoïde pour le second), Ludwig nous parle d'"enveloppe". Je trouve cela très artificiel.
Un calcul d'enveloppe (que ce soit de droites ou de courbes) consiste à déterminer les coordonnées du point de contact après un paramétrage ad hoc.
Or ici, la droite variable est définie dans les deux cas à partir de son point de contact ($P$ pour la cissoïde et $S$ pour la strophoïde).
J'ai fait les calculs pour la cissoïde sans trop savoir où j'allais et j'ai été très déçu de constater que le point de contact était précisément $P$.
Inutile de dire que je n'ai pas récidivé avec $S$.
En étant moins grandiloquent, il aurait été préférable de demander les lieux de $P$ et $S$.
J'ai, par manque de clairvoyance, la nette sensation de m'être fait avoir. -
Bonsoir CaillouxJe comprends ta critique.Il reste cependant à faire le joint entre les considérations générales faites au sujet de la transformation cissoïdale et ce problème de Concours de l'Ecole de l'Air de 2002.Je me demande bien quels peuvent être les sujets de ce concours aujourd'hui.Ceux qui sont destinés à traiter les ennemis de la république n'ont pas besoin d'en savoir autant en géométrie!Amicalementpappus
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