Formule plus générale que la formule de Hurwitz

L2M

Prenons les trois fonctions, zêta de Reimann, zêta de Hurwitz  ($a\in\mathbb{}R$) et zêta associée à une fonction $f$ ($f$ est analytique en $0$) :

\[\zeta(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}\frac{t}{e^t-1} dt.\]

\[\zeta(z,a) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}\frac{te^{(1-a)t}}{e^t-1} dt.\]

\[\zeta(z,f) := \frac{1}{\Gamma(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}f(t) dt.\]

$\ \bullet \zeta(z)$ possède une équation fonctionnelle.

$\ \bullet \zeta(z,a)$ possède une formule appelée Formule de Hurwitz et qui généralise l'équation fonctionnelle de $\zeta(z)$.

$\ \bullet \zeta(z,f)$ possède une formule que j'appelle Formule de $\zeta(z,f)$ et qui généralise la formule de Hurwitz et l'équation fonctionnelle de $\zeta(z)$.

L'article (plus de 20 pages) est près à être publié mais comme je ne suis pas connecté à aucune université j'aurai des difficultés à le stocker sur arxiv.org. Pour le publier dans un journal ça prendra encore beaucoup plus de temps.

La joie de cette petite découverte m'a poussé à la partager avec vous ici.

jean lismonde

Bonjour

je te signale une petite erreur dans l'expression de Hurwitz :
sous le signe intégral du second membre l'exponentielle concerne le binôme (1-a)t et non simplement 1 - a

cela dit ton travail semble tout-à-fait prometteur et j'espère qu'il trouvera le meilleur accueil ici-même
et dans d'autres cercles mathématiques.

Bonne journée

Cordialement

L2M

Merci @jean lismonde

L'idée de l'article est très simple mais pour y penser, pour moi c'était une merveilleuse coïncidence. Au début je cherchais à redémontrer la valeur de $\zeta(2)$ par une nouvelle méthode et j'ai réussi à le faire. En cherchant à refaire la même méthode pour $\zeta(3)$ je suis tomber sur une formule qui donne $\zeta(z)$ sous forme de série convergente sur $\mathbb{C}-\{1\}$. Cette série prolonge vraiment $\zeta$ sur tout le plan complexe privé de $1$ (c'était en 2016). J'ai passé 4 ans à essayer d'exploiter cette série pour en extraire des idées concernent les zéros non triviaux de $\zeta$ mais en vain. J'ai remplis mon PC par des tons de calculs inutiles mais tout à coup au milieu de ce désordre j'ai remarqué que la puissance $n^z$ se généralise par une fonction que je note $P_{f,n}(z)$ ($f$ est une fonction). C'est-à-dire, si on remplace $f$ par la fonction $\beta=\frac{t}{e^t-1}$ on aura $P_{\beta,n}(z)=n^z$.

Alors je me suis dit pourquoi ne pas définir une nouvelle fonction zêta $\zeta(z,f)$ par la nouvelle notion de puissance :

$$\zeta(z,f) = \sum_{n=1}^{+\infty} P_{f,n}(-z). \qquad (*)$$ A partir d'ici tout devient clair mais difficile à démontrer surtout l'équation fonctionnelle. J'ai pu presque tout généraliser (Les nombres et polynômes de Bernoulli, La formule de Faulhaber, La formule d'Euler-Maclaurin, zêta, L'écriture intégrale de zêta, le prolongement de zêta par intégrale de contour, les valeur de zêta aux entiers négatifs et enfin l'équation fonctionnelle). La chose qui m'a vraiment étonné c'est que dans la définition intégrale de $\zeta(z,f)$ de la formule (*) j'ai trouvé la transformé de Mellin suivante \[\zeta(z,f) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}f(t) dt.\]

J'ai vraiment hâte de le publier, au moins sur arxiv et je suis sûr qu'on peut l'utiliser comme base pour généraliser tout ce qu'on a pu publier sur les fonctions zêta de Riemann et Hurwitz.

Poirot

Ton enthousiasme fait plaisir à voir. Cependant, es-tu sûr que ça n'existe pas déjà quelque part dans la littérature ?

L2M

Merci @Poirot, C'est ça l’inconvénient de faire de la recherche seul avec son PC, internet et bien-sûr mathematiques.net. Mais je suis persuadé qu'il n'y a pas d'équation fonctionnelle générale de la transformée de Mellin sous certaines conditions sur $f$.

L2M

Bonsoir
J'ai été approuvé ce matin pour soumettre l'article sur arXiv.

Poirot

Bravo, ça a l'air bien écrit. J'ai quand même des doutes sur le fait que ce ne soit pas déjà des choses connues, il y a eu pléthores de tentative de généraliser les polynômes de Bernoulli et leurs liens avec les fonctions $L$. Tu ne risques pas non plus de pouvoir démontrer tout ce qu'on sait sur la fonction $\zeta$ pour tes généralisations, car la fonction $\zeta$ provient de l'arithmétique, ce qui fournit le produit eulérien, ce qui n'est pas le cas de tes fonctions. On sait qu'il existe des fonctions ressemblant beaucoup aux fonctions $L$ (sommes de séries de Dirichlet, prolongement méromorphe, équation fonctionnelle) mais ne possédant pas de produits eulériens et qui ont un comportement radicalement différent des fonctions $L$ (notamment l'existence de zéros de partie réelles $> 1$)...

L2M

Tout à fait d'accord avec toi. La notation $L(z,f)$ que j'ai choisi n'a rien a voir avec les fonctions $L$. C'est juste une généralisation de la fonction zêta de Hurwitz qui n'est pas une fonction $L$.

Area 51

Avec quel logiciel sont dessinés les graphiques avec des contours ?

L2M

Adobe Illustrator CS5.