Opérateur de $L^2(\C)$

mathspe

Bonjour.
Soit $\lambda\in \{z\in\C\mid \text{Re}(z)>0\}$. Considérons l'opérateur $T_\lambda: L^2(\R^2)\to L^2(\R^2): f\mapsto T_{\lambda}f(x,y)= \int_{\R^2}f(x-u,y-v) e^{-\frac{\lambda}{4} (u^2+v^2) - i\lambda /2(yu-xv)} dudv$, où $dudv$ est la mesure de Lebesgue sur $\R^2$. 
Comment on peut montrer que $T_\lambda(f)\in L^2(\R^2)$ ?
Toute remarque sera la bienvenue. Merci.

gebrane

Si je comprends tes notations 
$|f(z-w) e^{-\frac{\lambda}{4} |w|^2 - i \text{Im} z\overline(w)} |^2=|f(z-w)|^2 e^{-\frac{\lambda}{2} |w|^2  }\leq |f(z-w)|^2$

mathspe

j'ai oublié un $\lambda$. il faut montrer que $||T_\lambda(f)||_2\leq C ||f||_2$.

bd2017

Bonjour

Cela serait bien de donner une définition correcte. Il y a un méli-mélo avec les couples $(x,y)$ et $(u,v)$

mathspe

Oui j'ai rectifié 

bd2017

Bonjour

J'ai  l'impression que ton résultat est faux.  En effet avec j'ai pris  $\lambda =\dfrac{1}{4} +  i $  et deux exemples  $ f(x,y)=e^{-(x^2 +y^2)}$  puis

$f(x,y) =\chi_{[0,1]^2}   (x,y) $ pour lesquels je ne trouve pas  que $T_\lambda (f)$ intégrable.

Pour le vérifier j'ai utilisé un logiciel de calcul formel.  Je n'ai pas étudié d'avantage ta transformation.  Donc il faut vérifier mes dires.

Vu l'allure,  ton résultat est peut être  vrai mais  pour un cône de sommet O avec un angle inférieur à $\pi$.

mathspe

je ne pense pas, je vais vérfier les calculs