Équation de Pell-Fermat

OShine

Bonjour
Depuis une semaine je suis bloqué sur ces deux points encadrés dans la dernière image. Dans le premier pas compris d'où sort la condition plus grand que $1$, dans le deuxième je n'ai pas compris pourquoi le $n \in \Z$ dans la proposition d'avant se transforme en $n \in \N$ ni comment trouver la relation de récurrence.

Barry

@OShine : sauf si je passe à côté de ce que tu ne comprends pas (et dans ce cas, précise ce qui te pose problème), relis la description de l'ensemble de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]_{*+}$. Il y a des éléments positifs (de la forme $(3 + 2\sqrt{2})^n$ et des éléments négatifs(de la forme $-(3 + 2\sqrt{2})^n$) dans cet ensemble, et toi tu cherches ceux de cet ensemble qui sont de la forme $a  + b\sqrt{2}$ avec $a$ et $b$ qui sont des entiers naturels (donc positifs). Donc ces solutions sont forcément non nulles (0 n'est de toute façon pas inversible) et positives !

jean-éric

Salut OS,
Les nombres qui s'écrivent $x+y\sqrt{2}$, avec $x$ et $y$ dans $\mathbb{N}$, vérifiant $0\leq x+y\sqrt{2} <1$ et solutions de l'équation (e) ne sont pas nombreux.
Ensuite on a $x_n+y_n\sqrt{2} =(3+2\sqrt{2})^n$ et $x_{n+1}+y_{n+1}\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^{n+1}$ donc :
$$ x_{n+1}+y_{n+1} \sqrt{2} = (3+2\sqrt{2})^n \times (3+2\sqrt{2})=(x_n+y_n\sqrt{2}) \times (3+2\sqrt{2}).$$Jean-éric.

OShine

@Barry oui merci j'ai mal lu le $\N \times \N$.
@jean-éric tu n'as pas compris ce qui me pose problème.
Plus haut on a démontré que $\boxed{\Z[ \sqrt{2} ]^{*} = \{ \pm (3+2 \sqrt{2})^n \ | \ n \in \Z \}}$
Pourquoi dans la dernière image, on écrit $(3+2 \sqrt{2})^n$ avec $n \in \N$ et pas $n \in \Z$  ?

Barry

Personnellement j'ai lu trop vite, dans l'ensemble que tu décris je pensais le nombre $n$ entier. Sachant que $(3 + 2\sqrt{2}) \geq 2$, peut-on avoir, pour un entier $n$ strictement négatif, $(3 + 2\sqrt{2})^n \geq 1$ ?

OShine

En effet, bien vu !