Un équivalent

gebrane

Bonjour, Je partage avec  vous l'exercice suivant: 
Chercher un équivalent de ''edit  une coquille '' $$\sum_{k=0}^n \frac{C^k_n}{k!}$$  

La personne niveau L3 ne connait pas les polynômes de Laguerre https://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials qui plient la question instantanément  . Est ce que vous avez une méthode élémentaire 

Positif

Les polynômes de Laguerre sont vus dans le cours sur la mesure.

On définit les polynômes d’Hermite comme les polynômes orthogonaux pour $\exp ( -x^2 / 2 ) \mathrm{d} x $ , ceux de Laguerre comme les polynômes orthogonaux pour $\mathbf{I} ( x \geq 0 ) \exp(- x) \cdot \mathrm{d} x $, ceux de Legendre comme les polynômes orthogonaux pour $\mathbf{I} ( x \in [-1, 1] ) \cdot \mathrm{d} x $.

Sinon merci de l’exo je vais chercher.

gebrane

Bonjour @Positif

Puisque tu connais ces polynômes, vois-tu comment la question est pliée ?   sinon je t'explique 

Positif

Non ne dit rien. J'essaie de seulement utiliser les relations d'orthogonalités, sans référence aux formes  closes.

gebrane

Une coquille s'est glissée dans la question, j'ai corrigé
J'ai oublié un carré c'est $\sum_{k=0}^n \frac{A^k_n}{(k!)^2}= \sum_{k=0}^n \frac{C^k_n}{k!}$ au lieu de $ \sum_{k=0}^n \frac{A^k_n}{k!}$  désolé

jandri

Je n'ai pas de méthode simple pour le démontrer mais on a : $b_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{C^k_n}{k!}\sim \dfrac{{\rm e}^{2\sqrt n}}{2\sqrt{\pi{\rm e}}\;n^{1/4}}$.

Je l'ai trouvé sur la page A002720 de l'OEIS qui concerne la suite $a_n=n!b_n$.

gebrane

Equivalent exact, d'après la page wiki que j'ai mentionné dans mon premier message, les polynômes de Laguerre peuvent s'exprimer  par $L_n(x)=\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k C^k_n}{k!} x^k$, d'où  $L_n(-1)=\sum_{k=0}^n \dfrac{C^k_n}{k!}$. et d'après la même page wiki, on a un équivalent de $L_n(x)$ pour $x<0$; il suffit de remplacer $x$ par -1, pour trouver l'équivalent  donné par Jandri