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Inverse de fonctions jeudi 22 septembre

Modifié (22 Sep) dans Analyse
Bonjour
1/ Déterminer l’inverse de $f(x)=x-\ln(\ln(x))$, sur $]2;+\infty[$
2/ Même question avec $g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{-\ln(x)}}$, sur $]0;1[$
On utilisera la fonction de Lambert.
Merci 

Réponses

  • Pour 2), on trouve $1/2\,\sqrt {2}{\frac {1}{\sqrt {{y}^{-2} \left( {\it LambertW} \left(
    2\,{y}^{-2} \right)  \right) ^{-1}}}}$

    Pour 1), je doute que ce soit faisable.

  • Modifié (26 Sep)
    Pour 1) j'ai trouvé une équation différentielle, mais je me suis peut-être trompé dans les calculs.

    $f(x)=x-\ln(\ln(x))$
    $f'(x)=1 - \dfrac{1}{x \ln(x)}$
    $[f^{-1}(x)]'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\dfrac{1}{1 - \frac{1}{f^{-1}(x)\ln(f^{-1}(x)}}$
    On pose : $f^{-1}=y$
    $y'=\dfrac{1}{1 - \frac{1}{y \ln(y)}}$
    $y'=\dfrac{y \ln(y)}{y \ln(y)-1}$

    Soit : $y \ln(y)=\dfrac{y'}{y'-1}$* à résoudre.
    *équivalent à :
    $\dfrac{1}{y'}=1-\dfrac{1}{y\ \ln(y)}$ ou
    $\dfrac{1}{y}=\ln(y)\ (1-\dfrac{1}{y'})$
  • Et avec la réversion de Lagrange pour le 1/ ?
  • Modifié (26 Sep)
    Bonjour
    Ok, juste pour donner l'idée générale, tu vois quoi comme piste ?
  • Pour le 1), la formule de réversion de Lagrange pourrait à la rigueur s'appliquer à $t\mapsto f\big(\exp(\exp t)\big)$ et cela donnerait une formule un peu compliquée faisant intervenir les nombres de Bell.
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