Espérance conditionnelle — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Espérance conditionnelle

Bonsoir
Je galère pour un problème d'espérance conditionnelle. Je ne sais pas par où commencer !! L'espérance classique ça va pour moi, mais là, je suis sur MARS !
On lance 2 pièces équilibrés.
X et Y sont le résultat des deux lancers.
On définit les variables aléatoires U = max(X,Y) et V=min(X,Y).
1- Calculer l'espérance de U sachant que V=0 ?
2- Calculer l'espérance de U sachant que V=1 ?
Je sèche   roll
Merci beaucoup pour votre aide ! 

Réponses

  • Modifié (22 Sep)
    Bonjour.
    Même méthode que pour l'exercice précédent, avec un tableau des 4 cas possibles et dans les cases les valeurs de U et V. Puis on repère les cases où V=0.
    Bon travail !
  • Modifié (23 Sep)
    Bonjour
    Merci pour ta réponse !
    J'ai trouvé mais aucune certitude ! Je t'envoie ça en PJ
    :)


  • Modifié (23 Sep)
    Pour 2), l'événement $\{V=1\}$ n'a pas été correctement identifié. D'ailleurs, la somme des deux probas conditionnelles calculées dans cette question devrait valoir $1$.
    Pour 1), les valeurs numériques me semblent correctes mais si tu te relis attentivement, tu devrais pouvoir détecter quelques coquilles.
  • Pour le 1), j'ai regardé et je trouve bien 1/3

    Pour la 2), Il faut rajouter P(1,1) c'est ça ? et ça va vaut 1/4 ? 
  • Il y a des contrôles que tu peux et que tu dois faire.

    Tu calcules P(U=0|V=1) puis P(U=1|V=1)  ; tu trouves 2/3 et 1.

    Normalement, tu dois réagir et te dire qu'il y a une erreur quelque part.

    On prend comme hypothèse que V=1, et on s'interroge sur les différentes valeurs possibles pour U, (2 valeurs possibles, 0 ou 1) et les probabilités respectives.
    On va les calculer, ce que tu as fait.
    Mais on sait par avance que la somme des 2 résultats doit donner 1 (ok, tu es convaincu de ça ?). Et dans ton calcul, la somme ne donne pas 1. Donc c'est faux.

    Donc il faut vérifier et trouver l'erreur.
  • Modifié (23 Sep)
    Oui, j'ai compris ton explication @lourrran
    Oui, cela ne m'a pas frappé mais me semblait étrange.
    J'ai cependant corrigé quelque chose pour la question 2, mais je n'arrive pas à trouver la proba.

  • Tu utilises des formules compliquées, et tu te trompes.
    Soyons pragmatiques, faisons simple.
    On lance 2 pièces. Il y a 4 résultats possibles. (0,0),(0,1),(1,0) et (1,1)  et ces 4 résultats sont équiprobables.
    On va compter les cas 1 par 1, il n'y a que 4 cas, ce ne sera pas trop long.
    On cherche l'espérance de U sachant que V=1.
    Puisque V=1 , on est dans l'une des 3 situations (0,1),(1,0) et (1,1).
    Cardinal de l'univers =3.
    Parmi ces 3 cas (équiprobables), il y en a 2 qui donnent U=0 (les tirages (0,1) et (1,0)) et 1 qui donne U=1 (le tirage (1,1))
    P(U=0|V=1)=2/3
    P(U=1|V=1)=1/3
    La somme donne bien 1.

    Voilà, on connaît la réponse.
    Maintenant, tu peux essayer de retrouver ce résultat avec les formules que tu utilises, c'est bien. Il faut le faire, pour savoir généraliser à des situations plus complexes. Quelles sont les corrections à faire dans tes calculs pour arriver à ce résultat.
    Et aussi : à quelle(s) étape(s) il y a une erreur de raisonnement dans tes calculs ?
  • Modifié (23 Sep)
    D'accord, je viens de comprendre ce que tu m'expliques
    Et donc, si j'ai bien suivi, l'espérance de la première question est : 1/3 soit 0,33 et l'espérance de la deuxième question est : 2/3 soit 0,66
    Est-ce bien cela ? 
  • En fait  je me suis totalement trompé.
    J'ai inversé min et max.

     
  • Modifié (23 Sep)
    D'accord. mais au final ?
    1) Question 1
    Espérance est 2/3
    2) Question 2
    Espérance est 1/3
  • Modifié (23 Sep)
    Bonjour.
    Je viens de relire l'énoncé :
    "On lance 2 pièces équilibrées.
    X et Y sont le résultat des deux lancers.
    On définit les variables aléatoires U = max(X,Y) et V=min(X,Y)."
    C'est une blague ?
    X prend les valeurs "Pile" et "Face", Y aussi. C'est quoi max ("Pile", "Face") ?
    Bien sûr, on peut numériser et prendre 0 pour pile et 1 pour face, mais aussi -1 pour pile et 1 pour face, ou toute autre numérisation. Et les espérances changent suivant la numérisation.
    Heureusement, inverser les valeurs de pile et de face ne change rien au résultat.
    Finalement, ne serait-ce pas un exercice avec deux dés, simplifié sans réflexion par l'auteur ?
    Cordialement.
  • Modifié (23 Sep)
    Salut gerard0,
    Merci pour ton message. Non du tout !
    Eh, je ne sais pas pour l'auteur, je n'y connais pas grand chose pour te dire ! 
    Pour revenir à mes résultats, c'est quoi alors ?
    Cordialement.
  • Modifié (23 Sep)
    Tu vas trouver tout seul en simplifiant convenablement les intersections d'événements pour calculer les numérateurs/dénominateurs.
    Tu as réussi à le faire pour la première question donc ça devrait le faire pour la seconde.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!