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Morphismes de $\Z[\frac{1}{2}]$ dans $U(1)$

Bonjour,
L'ensemble des homomorphismes de groupes (non topologiques) de $\Z[\frac{1}{2}]$ dans $U(1)$ est-il isomorphe à $U(1) \times \Z_2$ ? ($\Z_2$ étant l'ensemble des nombres $2$-adiques). Sinon à quoi cet ensemble est-il isomorphe ?
Merci.

Réponses

  • Modifié (22 Sep)
    Je ne pense pas qu'il soit isomorphe à $U(1) \times \Z_2$, car il existe dans ce dernier ensemble un élément $x$ tel que $2x=0$, et $x \neq 0$, alors qu'il n'en existe pas dans $Hom(\Z[\frac{1}{2}],U(1))$.
  • Modifié (22 Sep)
    Bonjour,
    Sauf erreur, le groupe additif de $\mathbb Z[1/2]$ est la limite inductive de $$\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow\ldots\;,$$
    donc $\mathrm Hom(\mathbb Z[1/2],U(1))$ est la limite projective de
    $$\ldots\stackrel{(\ )^2}\longrightarrow U(1)\stackrel{(\ )^2}\longrightarrow U(1)\stackrel{(\ )^2}\longrightarrow U(1)\;,$$
    soit encore
    $$\ldots\stackrel2\longrightarrow \mathbb R/\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow \mathbb R/\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow \mathbb R/\mathbb Z\;.$$
  • Modifié (22 Sep)
    Merci @GaBuZoMeu . Est-il toujours vrai que la limite projective des duaux est le dual de la limite inductive ?
  • Modifié (22 Sep)
    Ici j'ai $\mathrm{Hom}(\varinjlim\mathbb Z, U(1))\simeq \varprojlim\mathrm{Hom}(\mathbb Z, U(1))\simeq \varprojlim U(1)$ où les morphismes de transition sont l'élévation au carré.
    C'est aussi $\varprojlim \mathbb R/2^n \mathbb Z$
  • Merci, je n'avais pas non plus pensé à cette dernière limite projective.
  • Modifié (24 Sep)
    Bonjour Marco,

    Merci de m'avoir fait découvrir une espèce rare de groupes dont je ne me souviens pas avoir croisé la route..
    Cela m'a conduit, en l'absence de connaissances théoriques,  à en expliciter la loi et retrouver, me semble-t-il, ce qui a été dit par Gabuzomeu.
    $\mathbb U$ désigne le groupe multiplicatif des nombres complexes de module $1$, isomorphe à $\left ( \R/\Z, + \right).$
    Soit  $(G ,\times)$ le groupe défini par $G= \left\{u\in  \mathbb U^{\N}\mid \forall n \in \N, \: u_{n+1}^2 = u_n \right \}, \quad \forall u,v \in G, \:\: \forall n \in \N, \:\: (u\times v)_n = u_nv_n.$
    Alors, $\:G \simeq\text{Hom} \left( \Z[\frac12], \mathbb U\right ),$ via l'isomorphisme $\theta : \:\: \longmapsto \theta_u \: $ où $\:\theta_ u:   \left\{\begin{array}{ccc} \Z\left[ \frac 12 \right] & \overset{\theta_u}{\longrightarrow }& \mathbb U \\ x = \dfrac a{2^n} \: (a\in \Z, n \in \N) &\longmapsto &\theta_u(x)=  u_n^{a} \end{array}\right .$
    ($ \theta_ u (x)$ ne dépend pas de l'écriture $x=\dfrac a{2^n}$)
    Cela permet, entre autres choses, de voir qu'en effet $G$ ne possède pas d'éléments d'ordre $2$, ou que, pour tout entier $n$ impair et tout $x$ dans $G$, il existe une infinité d'éléments $y$ de $G$ tels que $x=y^n.$
  • En effet, cela donne une représentation de l'isomorphisme. Merci @LOU16 .
    Au sujet de $\Z_2$, utilisant le fait que la limite projective des duaux est le dual de la limite inductive, on montre que $\rm{Hom}( \Z[\frac{1}{2}]/\Z, \mathbb{U})$ est isomorphe à $\Z_2$, il me semble (je vérifie).
  • Une remarque: cette limite projective est aussi isomorphe au quotient de $\mathbb{R}\times \mathbb{Z}_2$ par la copie diagonale de $\mathbb{Z}$ (je le laisse en exercice amusant).
  • Modifié (24 Sep)
    Oui effectivement, on considère le morphisme de groupes
    $$\begin{aligned}\mathbb R\times \mathbb Z_2=\mathbb R\times \varprojlim \mathbb Z/2^n\mathbb Z&\longrightarrow \varprojlim \mathbb R/2^n\mathbb Z\\(r,(a_n\bmod 2^n))&\longmapsto ((r-a_n)\bmod 2^n)\;.\end{aligned}$$
    Je ne connaissais pas, mais un collègue m'a indiqué qu'on trouvait ce genre de groupes dans la littérature sous le nom de solénoïdes.
  • Modifié (24 Sep)
    Bonjour,
    Voici une construction des isomorphismes évoqués par Marco et Pea.  $\quad \forall n \in \N, \:\: \omega_{2^n} := \exp\left(\frac {2\mathrm i \pi}{2^n}\right).$
    Soit  $u \in\Z_2: \:\:u =( u_n)_{n\in \N^*}, \:\: u_n \in \Z/2^n \Z, \: \: u_{n+1}\equiv u_n \mod 2^n .\quad$ Alors $\: \omega_{2^n} ^{u_n}\:$ est un élément parfaitement défini de $\mathbb U.$
     On a  l'isomorphisme $\theta:\left\{\begin{array}{ccc} \Z_2& \longrightarrow & \text{Hom } \left( \Z\left[ \frac 12 \right] /\Z, \mathbb U\right ) \\u&\longmapsto & \theta_u\end{array}\right.$ avec $ \:\:\theta_u: \left\{ \begin{array}{ccc} \Z\left[ \frac 12 \right] /\Z &\longrightarrow & \mathbb U \\ x=\overline {\left( \frac a{2^n }\right) } \:(a\in \Z) &\longmapsto &( \omega_{2^n})^{au_n} \end{array}\right.$

    Soit $\varphi: \left \{\begin{array} {ccc}\R \times \Z_2 & \longrightarrow & G \\ (\alpha , u) &\longmapsto & \left( \mathrm e^{2\mathrm i \pi \alpha / 2^n} \omega_{2^n} ^{-u_n}\right) _{n\in \N}\end{array}\right.\quad$ (avec la convention $u_0 =0$)
    Alors $\varphi $ est surjectif et $\ker \varphi = \{ (k,k) \mid k\in \Z \}: = D, \quad G \simeq (\R\times \Z_2) / D.$

  • Merci pour la référence, l'exercice et la démonstration.
  • On peut remplacer $\mathbb Z[1/2]$ par $\mathbb Q$ et $\mathbb Z_2$ par $\widehat{\mathbb Z}$.
  • Oui, en effet.
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