Fonction définie par une intégrale

celrek19

celrek19

Aidez moi svp il paraît que c'est un classique mais moi je le trouve un peu difficile
J'ai besoin d'indication svp 

JLapin

Tu bloques dès la bonne définition de $f$ sur $\R_+$ ?

Math Coss

1. Évacue une fois pour toute le faux problème en $0$. La bonne définition de $f(0)$ se voit typiquement par une intégration par parties. Pour $x>0$ c'est plus facile, la fonction intégrée est intégrable / l'intégrale est absolument convergente. Pour dériver, c'est le théorème de dérivation sous l'intégrale, il faut dominer la dérivée partielle sur $\left[a,+\infty\right[$ pour $a>0$ fixé.
   
2. Il s'agit de calculer $f'$ sur $\R^{+*}$ puis $f$ sur le même intervalle. Ça doit être facile à une constante près, qui s'obtient avec la limite en l'infini.
   
3. Pour la continuité en $0$, on verra plus tard... Une façon de faire, me semble-t-il, c'est de couper l'intégrale sur $[0,n\pi]$ et $\left[n\pi,+\infty\right[$ ; on choisit $n$ assez grand pour que le deuxième terme soit négligeable indépendamment de $x$ et on traite le premier avec le théorème de continuité des intégrales à paramètre sur un intervalle borné (ou bien on domine, ce qui est facile à faire grossièrement sur un compact).
   

JLapin

Pour la continuité en $0$, on peut noter $G$ une primitive de limite nulle en $+\infty$ de la fonction $g:t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ prolongée comme il faut en $0$, faire une IPP suivie du changement de variable $u=xt$ pour transformer $f(x)-f(0)$ et enfin, appliquer le théorème de convergence dominée pour passer à la limite sous l'intégrale et obtenir une limite nulle.

D'ailleurs, je trouve plus pratique de traiter directement le cas général d'une fonction $g:\R_+\to \R$ continue d'intégrale convergente sur $\R_+$ et de montrer que $\int_0^{+\infty} g(t)e^{-xt}dt$ converge vers $\int_0^{+\infty} g$ quand $x$ tend vers $0^+$.

jean lismonde

Bonjour
tu connais la transformée de Laplace de $\cos(at)$ (avec $x$  variable réelle positive et $a$ paramètre réel) :
$\int_0^{+\infty}e^{-tx}\cos(at)dt= \dfrac{x}{x^2 + a^2}$.
La fonction en "$x$" est bien définie, continue  et la fonction en "$a$" également.
Tu peux intégrer par rapport à la variable "$a$" soit :
$\int_0^{+\infty}e^{-tx}\dfrac{\sin(at)}{t}dt = \arctan\dfrac{a}{x}$.
Pour $a = 1$ il vient : $$\int_0^{+\infty}e^{-tx}\frac{\sin t}{t}dt= \frac{\pi}{2} - \arctan(x),$$
et pour $x = 0$ (ou tendant vers $0$) il vient l'intégrale de Dirichlet : $\displaystyle \int_0^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t} = \dfrac{\pi}{2}$.
Cordialement.