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Fonction définie par une intégrale

Modifié (22 Sep) dans Analyse

Réponses

  • Aidez moi svp il paraît que c'est un classique mais moi je le trouve un peu difficile
    J'ai besoin d'indication svp 
  • Tu bloques dès la bonne définition de $f$ sur $\R_+$ ?
    1. Évacue une fois pour toute le faux problème en $0$. La bonne définition de $f(0)$ se voit typiquement par une intégration par parties. Pour $x>0$ c'est plus facile, la fonction intégrée est intégrable / l'intégrale est absolument convergente. Pour dériver, c'est le théorème de dérivation sous l'intégrale, il faut dominer la dérivée partielle sur $\left[a,+\infty\right[$ pour $a>0$ fixé.
    2. Il s'agit de calculer $f'$ sur $\R^{+*}$ puis $f$ sur le même intervalle. Ça doit être facile à une constante près, qui s'obtient avec la limite en l'infini.
    3. Pour la continuité en $0$, on verra plus tard... Une façon de faire, me semble-t-il, c'est de couper l'intégrale sur $[0,n\pi]$ et $\left[n\pi,+\infty\right[$ ; on choisit $n$ assez grand pour que le deuxième terme soit négligeable indépendamment de $x$ et on traite le premier avec le théorème de continuité des intégrales à paramètre sur un intervalle borné (ou bien on domine, ce qui est facile à faire grossièrement sur un compact).
  • Modifié (22 Sep)
    Pour la continuité en $0$, on peut noter $G$ une primitive de limite nulle en $+\infty$ de la fonction $g:t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ prolongée comme il faut en $0$, faire une IPP suivie du changement de variable $u=xt$ pour transformer $f(x)-f(0)$ et enfin, appliquer le théorème de convergence dominée pour passer à la limite sous l'intégrale et obtenir une limite nulle.

    D'ailleurs, je trouve plus pratique de traiter directement le cas général d'une fonction $g:\R_+\to \R$ continue d'intégrale convergente sur $\R_+$ et de montrer que $\int_0^{+\infty} g(t)e^{-xt}dt$ converge vers $\int_0^{+\infty} g$ quand $x$ tend vers $0^+$.
  • Modifié (23 Sep)
    Bonjour
    tu connais la transformée de Laplace de $\cos(at)$ (avec $x$  variable réelle positive et $a$ paramètre réel) :
    $\int_0^{+\infty}e^{-tx}\cos(at)dt= \dfrac{x}{x^2 + a^2}$.
    La fonction en "$x$" est bien définie, continue  et la fonction en "$a$" également.
    Tu peux intégrer par rapport à la variable "$a$" soit :
    $\int_0^{+\infty}e^{-tx}\dfrac{\sin(at)}{t}dt = \arctan\dfrac{a}{x}$.
    Pour $a = 1$ il vient : $$\int_0^{+\infty}e^{-tx}\frac{\sin t}{t}dt= \frac{\pi}{2} - \arctan(x),$$
    et pour $x = 0$ (ou tendant vers $0$) il vient l'intégrale de Dirichlet : $\displaystyle \int_0^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t} = \dfrac{\pi}{2}$.
    Cordialement.
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