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Série entière jeudi 22 septembre

Modifié (22 Sep) dans Analyse
Bonjour 

Résoudre l’exercice 529 page 68-69 http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exolic1/exolic.pdf

On considère une série entière $\sum_{n\ge0}c_nz^n$ de rayon de convergence $R>0$. Sa somme est notée $f(z)$.
  1. Montrer que la série $\sum_{n\ge0}\frac{c_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence infini. Sa somme notée $F(z)$ est appelée transformée de Borel [de $f$ ?].
  2. Soit $r$ un réel vérifiant $0<r<R$. Montrer qu'il existe un polynôme $P$ tel que \[\forall z\in\C,\quad \sup_{N\ge0}\left|\sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n!}z^n\right|\le P\bigl(|z|\bigr)+\exp\frac{|z|}r.\]On pourra considérer un entier $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$ on ait $|c_n|\le r^{-n}$.
  3. Montrer que pour tout $z$ de $\C$ tel que $|z|<R$ on a \[f(z)=\int_0^{+\infty}F(tz)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t.\]

Merci 

Réponses

  • Bonjour @etanche
    Qu'as tu fait ?  :o
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    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (22 Sep)
    Les deux premières questions semblent reposer sur la même clé, le lemme d'Abel. Pour la troisième, on développe $F$ en série entière (que faire d'autre ?) : le seul problème me semble être de justifier l'interversion de l'intégrale et de la somme, ce qui doit reposer sur l'inégalité de la question précédente ; pour conclure, $\int_0^\infty t^n\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t=n!$.
    Suis-je trop optimiste / présomptueux ?
  • Personnellement, Je n'ai pas et je ne vais pas regarder la question car je ne la vois pas sous les yeux dans ce fil. Je déteste chercher une  question dans un lien 
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  • Modifié (22 Sep)
    Voici l'énoncé.
    On considère une série entière $\sum_{n\ge0}c_nz^n$ de rayon de convergence $R>0$. Sa somme est notée $f(z)$.
    1. Montrer que la série $\sum_{n\ge0}\frac{c_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence infini. Sa somme notée $F(z)$ est appelée transformée de Borel [de $f$ ?].
    2. Soit $r$ un réel vérifiant $0<r<R$. Montrer qu'il existe un polynôme $P$ tel que \[\forall z\in\C,\quad \sup_{N\ge0}\left|\sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n!}z^n\right|\le P\bigl(|z|\bigr)+\exp\frac{|z|}r.\]On pourra considérer un entier $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$ on ait $|c_n|\le r^{-n}$.
    3. Montrer que pour tout $z$ de $\C$ tel que $|z|<R$ on a \[f(z)=\int_0^{+\infty}F(tz)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t.\]
  • Merci compagnon MC.
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  • Pour la premiere question, on peut me semble-il utiliser la règle de Cauchy, on calcule $\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{|c_n|}}{\sqrt[n]{n!}}$

    La suite $\sqrt[n]{n!}$ tend vers $+\infty$ et la suite $\sqrt[n]{|c_n|}$est bornée. Donc cette limsup tend vers 0 et le rayon de convergence est infini
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  • Si r est inférieur à R alors la suite $c_n r^n$ est bornée  cela suffit pour conclure pour la première question 
  • Pour être plus exact il faudrait rajouter un module à la suite cn. 
  • Non. Une suite de complexes bornée, c'est exactement une suite dont le module est borné (où, préciserai-je pour pinailler, le module d'une suite est la suite des modules des termes de ladite suite).
  • Modifié (22 Sep)
    1 ) Si $u < R(a) \wedge R(b) $ alors les deux séries $a_n u^n, b_n u^n $ convergent absolument, et leur somme aussi. ça marche , donc $R(a + b) \geq R(a) \wedge R(b)$ . Avec $b = -a$ on a $R(a+b) = \infty$

    2 ) Comme $r < R$, $|c_n| . r^n $ tend vers $0$ et il existe un rang $N_0$ au delá duquel $|c_n| < r^{-n} $ ( car leur produit est plus petit que $1$ APCR ).
    Soit maintenant $P(X) = \sum_{k = 0}^{N_0} \frac{ |c_k| X^k }{ k ! } $. Si $x > 0, x > R$ alors $x = r ( 1 + \alpha) = r \left( 1 + \frac{x - r }{r} \right) $ et $|F(x)| \leq P(x) + \sum_{n \geq N_0 } \frac{c_n r^n ( 1 + \alpha)^n }{n ! } \leq P(x) + \sum_{n \geq 0} \frac{(1 + \alpha)^n}{n!} = P(x) + \exp ( 1 + \alpha ) = P(x) + \exp( x / r) $ avec $\alpha = ( x - r ) / r )$. On peut utiliser $x$ le module de n'importe quelle quantité complexe.

    3 ) intervertir somme et intégrale avec "Gamme d'Oyler"
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • Modifié (22 Sep)
    Je suis d'accord avec @Math Coss pour la question 3, le point clé est l'égalité  $\int_0^\infty t^n\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t=n!$
     $\forall z\in D(0,R),\quad f(z)= \sum_{n=0}^\infty \int_{0}^\infty \frac{c_n}{n!}z^n t^n e^{-t}dt$ On peut permuter série et intégrale https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'interversion_série-intégrale , car $ \sum_{n=0}^\infty \int_{0}^\infty |\frac{c_n}{n!}z^n t^n e^{-t}|dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{|a_n z^n|}{n!} \int_0^\infty t^n e^{-t} dt=\sum_{n=0}^\infty |a_n z^n|<+\infty$,    donc $f(z)=\int_{0}^\infty\sum_{n=0}^\infty  \frac{c_n}{n!}(zt)^ne^{-t}dt=\int_{0}^\infty F(tz)e^{-t}dt$
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  • Math coss, j'avais omis de voir qu'on travaillait dans C
  • On peut traiter la question 3 sans le besoin de la question 2 comme  je l'ai fait , mais je pense c'est une question du contenu du programme.
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  • Modifié (22 Sep)
    @ Math Coss merci pour avoir posté l’exercice.
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