Considère que les solutions que je rédige ne te sont absolument pas destinées. Je ne te réponds pas à toi. Je réponds à un problème que tu as recopié. Je n'écris pas dans le but que tu me comprennes, et donc tu peux te passer de qualifier mon travail. Merci à toi. Dernier point : une solution n'est pas exceptionnelle sous prétexte que tu la comprends. C'est juste adapté à toi, rien de plus.
Quand on veut apprendre à quelqu'un à pêcher, on lui donne une canne à pêche, et on lui donne quelques indications. Quand on considère que la personne ne saura jamais pêcher, pour telle ou telle raison, on lui donne du poisson. Et dans certains cas extrêmes, on doit même cuisiner le poisson avant de le donner à la personne demandeuse.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Je n'ai pas vu de preuve qui explique proprement et rigoureusement le cardinal $2^n$, que des réponses données incomplètes avec des choses non prouvées mais pas de vraie démonstration avec les outils de L1-L2. Pour calculer le cardinal d'un ensemble, il faut exhiber une bijection avec un ensemble de cardinal connu. Je ne vois pas cette bijection.
Tu racontes n'importe quoi et tu n'es certainement pas à même de juger que telle ou telle démonstration est satisfaisante ou incomplète vu que pour toi, $\R$ est l'unique sev de $\R^2$ de dimension 1.
Bonsoir Si $B=\{u_i\}_{1\leq i \leq n}$ est une base de vecteurs propres, tout sous-espace stable est engendré par une partie de $B$. Il y a donc bijection entre l'ensemble des parties de $B$ et l'ensemble des sous-espace stables. Cordialement, Rescassol
@OShine si tu relis la preuve de GaBuZoMeuICI il en ressort que $E=F(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus F(\lambda_n)$ où les $F(\lambda_i)$ sont les sous-espaces propres associés aux valeur propres $\lambda_i$ pour $i=1..n$ et que tous les $F(\lambda_i)$ sont de dimension 1 ($n$ valeurs propres distinctes quoi).
Ensuite toujours comme signalé dans cette preuve, les sous-espaces stables sont les sous-espaces de la forme $F(\lambda_{k_1})\oplus\cdots\oplus F(\lambda_{k_i})$ avec $k_1,...,k_i\in [\![1,n]\!]$ distincts deux-à-deux. Sans oublier l'espace réduit à $0$.
Donc tu vois que chaque sous-espace stable correspond exactement à un choix d'un sous-ensemble de $[\![1,n]\!]$ (les $k_1,...,k_i$ décrits ci-dessus) et réciproquement. Il y a donc bijection entre les sous-espaces stables et les parties de $[\![1,n]\!]$. Or l'ensemble des parties d'un ensemble de $n$ éléments a exactement $2^n$ éléments.
L'application que tu as définie n'est évidemment pas bijective, car c'est complètement idiot de prendre $\mathcal{P}(E)$. Tout a été dit par les intervenants, pourquoi essayes-tu de rajouter des trucs faux et inutiles par dessus ? $\{F \text{ stable par } u\}$ n'est évidemment pas en bijection avec $\mathcal{P}(E)$, mais plutôt avec $\mathcal{P}([1,n] \cap \mathbb{N})$. Et la bijection est évidente avec la définition de la somme directe.
@Bibix : il poste des exercices trop difficiles pour lui et il n'en comprend pas les corrigés non plus. Mon avis personnel est qu'il ne mérite pas qu'on dialogue avec lui, mais simplement qu'on s'amuse, quand on en a le temps, à partager des solutions, qui ne lui sont pas nécessairement destinées, juste pour le plaisir de lire les rédactions de chacun. C'est en tout cas ma seule motivation sur les fils qu'il ouvre.
@OShine : bonjour. Reprenons la démonstration de GaBuZoMeuin extenso, point par point. J'y ajoute des questions en gras pour toi :
On suppose $u$ diagonalisable de valeurs propres
$\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ distinctes. On a donc
$E=F(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus F(\lambda_k)$, où $F(\lambda_i)$ est
le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda_i$. Veux-tu justifier ce point, s'il te plait ?
Les
sous-espaces de $E$ stables par $u$ sont les $G_1\oplus\cdots\oplus
G_k$ où $G_i$ est un sous-espace de $F(\lambda_i)$, éventuellement
réduit à $\{0\}$. En effet :
i) une telle somme directe est stable par $u$, (Pourquoi ?)
ii)
si $G$ est stable par $u$, alors la restriction de $u$ à $G$ est
diagonalisable à valeurs propres parmi $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$
puisque $\prod_{i=1}^k(X-\lambda_i)$ annule cette restriction. (Pourquoi ?)
Il
y a donc un nombre fini de sous-espaces stables si et seulement si
chaque $F(\lambda_i)$ a un nombre fini de sous-espaces, autrement dit si
et seulement si $\dim(F(\lambda_i))=1$ pour tout $i$. En effet, sur un
corps infini, un espace de dimension $\geq 2$ contient un nombre infini
de droite vectorielles, et $\dim(F(\lambda_i))>0$. Une droite
vectorielle (de dimension $1$) contient deux sous-espaces : la droite
elle-même et $\{0\}$. (Veux-tu justifier la partie en gras, s'il te plait ?)
Par conséquent, il y a un nombre fini de
sous-espaces stables si et seulement si chaque sous-espace propre est
de dimension 1 (une droite vectorielle), autrement dit si $u$ a $n$
valeurs propres simples. Le nombre de sous-espaces stables est alors
$2^n$.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Pour le premier point, j'ai le livre de Romabldi sous la main, c'est un résultat de cours. $u$ est diagonalisable si et seulement si, si $Sp(u)= \{ \lambda_1, \cdots, \lambda_p \}$ alors $E=\displaystyle\bigoplus_{k=1}^p \ker(u- \lambda_k id)$
Si $G$ est stable par $u$ alors $u_{|G}$ est diagonalisable d'après la question $b$ et aussi d'après le cours $\chi_{u_{|G}} \mid \chi_u$ donc le spectre de l'endomorphisme induit par $u$ sur $G$ est inclus dans le spectre de $u$.
@Oshine: Tu regardes beaucoup de livres, et tu abordes les problèmes en te posant systématiquement "Est-ce dans le cours ?". Autrement dit, tu ne te poses jamais la question "Comment sont démontrés les résultats du cours ?". Tu ne fais donc pas de mathématiques et ne pourras jamais les comprendre ainsi. À ta décharge, ton fonctionnement peut être efficace (et même tristement être encouragé) cahin-caha jusqu'au bac, mais après c'est fini.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
@Soc si j'étudie les démo mais c'est impossible de toutes les retenir. Soit $K$ un corps infini. Soit $F$ un espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à $2$. Alors, il existe $a,b \in F$ tel que $a$ et $b$ ne soient pas liés. Il est évident que $\forall \lambda \in K \ Vect(a+ \lambda b) \subset F$ par la définition d'un espace vectoriel. Montrons que si $\lambda \ne \lambda '$ alors $Vect(a+ \lambda b) \ne Vect(a+ \lambda' a)$. Par l'absurde, si pour $\lambda \ne \lambda'$ on a $Vect(a+ \lambda b) =Vect(a+ \lambda' b)$ alors $a+ \lambda b \in Vect(a+ \lambda' b)$. Donc il existerait $\mu \in K$ tel que $a+ \lambda b = \mu (a+ \lambda ' b)$ soit $(1- \mu)a +( \lambda - \mu \lambda ') b=0$ Comme la famille $(a,b)$ est libre on a $\mu=1$ et $\lambda= \lambda'$ ce qui est absurde car on a supposé $\lambda' \ne \lambda$. Finalement $\boxed{\forall \lambda \in K \ Vect(a+ \lambda b) \subset F}$ il existe donc une infinité de droites vectorielles incluses dans $F$.
Le but n'est pas de les retenir mais de les comprendre. Le meilleur moyen de les comprendre est de (tenter de) les faire soi-même avant de regarder la solution. Si tu as réussi seul alors tout va bien. Si tu n'as pas réussi alors après avoir regardé la solution, tu la refais seul un peu plus tard.
Le cours n'est pas un catalogue de théorèmes à utiliser par-ci par-là, ce sont des objets mathématiques qui interagissent entre eux. Essaies de voir pourquoi ils ont été introduits dans tel ordre, est-ce par niveau de difficulté ou parce que telle notion est utilisée dans la définition de telle autre etc...
Par exemple au lycée on ne définit plus vraiment les réels, pourtant il y a besoin de comprendre que l'on a d'abord besoin de définir les rationnels, puis on regarde ce qui se passe pour les suites qui "semblent converger" et n'ont pourtant pas de limite rationnelle. Si cela est acquis alors dans les exercices il devient naturel de chercher à utiliser la densité de Q dans R quand on a résultat facile à trouver sur les rationnels mais difficile en dehors.
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De toute façon je vais réétudier le cours de première année avec un livre plus clair que le tout en un où j'avais l'impression d'avoir le nez dans le guidon et de ne rien retenir car trop de propriétés et d'exercices ultra difficiles. Après certaines preuves sont difficiles et pas faciles à refaire seul, comme la preuve sur la décomposition en irréductibles dans un anneau principal. Certaines preuves sur les groupes cycliques ne me semblent pas faciles du tout. Mais sur les polynôme par exemple, c'est vrai que les preuves sont accessibles.
Si elles te paraissent difficiles, alors il ne faut pas les laisser de côté, il faut les refaire plus souvent. Et avant de s'attaquer aux exercices difficiles, il faut en faire beaucoup de faciles pour que les notions te deviennent plus familières, comme par exemple celle de sous espace vectoriel. Représentes-toi correctement R^2 et R^3 avant de t'attaquer aux espaces vectoriels de dimension quelconque.
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[Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]
Oui, j'ai aussi eu le sentiment qu'il voit son cours comme un catalogue auquel il ne comprend rien quand il a par exemple dit qu'il n'a jamais eu de cours sur les espaces vectoriels dont le corps de base est infini. Il ne sert à rien de faire un exercice de théorie des groupes qui nécessite de bien comprendre son cours sur les groupes quotients et le groupe symétrique quand on ne connait même pas le cardinal du groupe alterné ou qu'on ignore comment construire un isomorphisme d'un groupe d'ordre 2 dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$... C'est pourquoi personnellement, je n'interviendrai plus pour ce genre d'exercices ; t'aider à les résoudre ne t'aidera pas à progresser car tu n'as pas les bases. En tout cas, tu sembles déterminé et tes différents topics montrent que même si tu t'y prends très mal, tu prends du temps pour (essayer) de faire des mathématiques. C'est super, mais il faut prendre en compte les conseils qui t'ont été donnés urgemment ! EDIT : Je constate que tu as ouvert un topic sur un autre exercice de l'agrégation docteur et tu bloques encore à la première question. C'est effarant !! Renonce à le faire, ça n'a aucun intérêt.
J'ai l'impression d'avoir bien compris le cours sur les groupes quotients. ... Les groupes cycliques ça me semble déjà plus difficile.
OShine désolé mais à mon avis ce n'est qu'une impression. La notion de groupe quotient est quand-même beaucoup plus compliquée à aborder que celle de groupe cyclique...
Les groupes cycliques ça me semble déjà plus difficile.
C'est pourtant très naturel.
Quand tu as un groupe avec une loi * alors tu regardes ce qui se passe quand tu fais a*b... Non, trop compliqué! Tu commences déjà par regarder ce qui se passe quand tu fais a*a (en plus pas de problème de commutativité dans ce cas). Puis tant qu'à faire tu recommences: a*a*a et ainsi de suite... Si ton groupe est de cardinal fini alors nécessairement tu auras 2 fois la même résultat et tu regardes ce que ça induit ensuite (ah tiens on commence à voir apparaître un sous groupe cyclique).
C'est la base de la curiosité quand on commence à regarder les groupes. Cela doit te paraître simple et naturel. Si cela ne l'est pas, alors reprends tout depuis le début avant de chercher à utiliser les groupes (ne parlons pas des groupes quotients).
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Quand j'étais étudiant, je me souviens d'un DM ou DS sur les arcs-en-ciel, en physique donc. Aucun étudiant n'aurait imaginé dire : on n'a pas vu les arcs-en-ciel en cours, donc on ne peut pas faire.
Quand tu dis "j'étudie les démo mais c'est impossible de toutes les retenir", c'est totalement ridicule. Les maths, c'est avant tout de la compréhension, et un petit peu de mémoire. Le truc, c'est qu'un exercice qu'on trouve soi-même, ça sert 100 fois plus qu'un exercice qu'on ne trouve pas soi-même, et pour lequel on va lire le corrigé, ou on va demander 10000 indices hyper-détaillés. Quand tu trouves toi-même l'astuce, le truc, tu ne l'oublies pas.
Quand tu passes 1000 heures à travailler sur des exercices qui te dépassent totalement, tu progresses moins qu'en travaillant 10h sur des exercices à ta portée.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Barry, tu perds ton temps, tu es le cinquantième à lui donner ce genre de conseils ... qu'il ne suit pas (les lit-il ?).
Cordialement.
Oui, tu as raison, je vais en rester là pour ce qui est des conseils aussi. Je suis d'accord avec Raoul, à mon avis soit t'as jamais vu ce qu'est un groupe cyclique, soit ce n'est effectivement qu'une impression, parce que parmi tous les groupes que tu peux connaitre, il n'y a pas plus agréable qu'un groupe cyclique !
Récemment je n'ai pas fait d'exercice infaisable... Dans les groupes cycliques, il y a beaucoup de résultats à connaître. Pour les groupes quotients c'est toujours la même chose, théorème d'isomorphisme. Par exemple un théorème très utile mais dont j'ai du mal à me souvenir. Soit $G$ un groupe et $a \in G$ tel que $a^n=1$. Il existe un unique morphisme $f : \Z /n \Z \longrightarrow G$ tel que $f(\bar{1})=a$ et il est défini par $\forall \bar{k} \in \Z / n \Z, \ \ f(\bar{k})=a^k$. Je ne vois pas comment on peut retenir ce genre de proposition.
Pour insister encore sur ce que @lourrran a déjà très bien dit plus haut, j'en remets une couche.
Lors de mes séances de TD, les élèves ont des exercices à faire, dans l'ordre qu'ils veulent. Ensuite, j'envoie au tableau des volontaires pour proposer une correction. J'interdis à mes élèves de copier le corrigé s'ils ne l'ont pas cherché... et je les oblige à faire autre chose que suivre le corrigé si c'est leur cas. S'ils ont besoin d'une aide ponctuelle dans l'exercice, je peux la leur donner, mais le corrigé ne leur sert à rien. Petit à petit, ils se rendent compte que la meilleure façon de progresser, c'est de se porter volontaire pour passer au tableau, quitte à faire des erreurs, parce qu'au moins, ils sont sûrs d'avoir une correction !
C'est à l'image de cette génération... On y a pas vu en cours, donc on sait pas faire. Alors que parfois tu as juste changé 2 valeurs par rapport au TD.
Mes élèves de 4ème se battent pour aller au tableau, et quand je corrige trop vite, ils se plaignent qu'ils n'ont pas eu le temps de chercher. 90% des élèves veulent passer corriger. Pourtant je suis en REP et le taux de réussite au brevet de mon établissement est en-dessous de 70%.
Quand un prof donne un cours particulier, son principal rôle, c'est de choisir les exercices adaptés au niveau de l'élève. Le prof choisit l'exercice et l'élève cherche l'exercice. Ici tu choisis les exercices (tu es le prof) et les élèves (JLapin, Amédé, Raoul ... ...) cherchent les exercices. Et globalement, tu choisis assez bien les exercices adaptés à leur niveau, c'est bien. Du coup, ils progressent. Mais toi, le prof, tu ne progresses pas.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
La théorie d'Oshine est achevée, on a enfin compris, c'est un bon samaritain qui nous joue les ignares en maths pour faire progresser le forum sur les bases !
Deux "Je vous salue Évariste" au réveil et trois "Domine Protegere Fac Galois" au coucher pour progresser en mathématiques.
De temps en temps, le prof OShine choisit des exercices à mon niveau, mais pas souvent. Je suis discriminé, alors que je suis le plus faible. C'est vraiment trop injuste.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Réponses
Quand on considère que la personne ne saura jamais pêcher, pour telle ou telle raison, on lui donne du poisson.
Et dans certains cas extrêmes, on doit même cuisiner le poisson avant de le donner à la personne demandeuse.
Pour calculer le cardinal d'un ensemble, il faut exhiber une bijection avec un ensemble de cardinal connu.
Je ne vois pas cette bijection.
Si $B=\{u_i\}_{1\leq i \leq n}$ est une base de vecteurs propres, tout sous-espace stable est engendré par une partie de $B$. Il y a donc bijection entre l'ensemble des parties de $B$ et l'ensemble des sous-espace stables.
Cordialement,
Rescassol
Ensuite toujours comme signalé dans cette preuve, les sous-espaces stables sont les sous-espaces de la forme $F(\lambda_{k_1})\oplus\cdots\oplus F(\lambda_{k_i})$ avec $k_1,...,k_i\in [\![1,n]\!]$ distincts deux-à-deux. Sans oublier l'espace réduit à $0$.
Donc tu vois que chaque sous-espace stable correspond exactement à un choix d'un sous-ensemble de $[\![1,n]\!]$ (les $k_1,...,k_i$ décrits ci-dessus) et réciproquement. Il y a donc bijection entre les sous-espaces stables et les parties de $[\![1,n]\!]$. Or l'ensemble des parties d'un ensemble de $n$ éléments a exactement $2^n$ éléments.
Ok merci et c'est possible d'exhiber une bijection bijection entre $F$ et $\mathcal P(E)$ ?
Je pensais à l'application : $\phi : F=F_{k_1} \oplus \cdots \oplus F_{k_i} \longrightarrow \mathcal P(E) \\ x \mapsto \{F_{k_1}, \cdots, F_{k_i} \}$
Mais je ne crois pas que ça marche, je n'arrive pas à démontrer que c'est bijectif.
Pour le premier point, j'ai le livre de Romabldi sous la main, c'est un résultat de cours.
$u$ est diagonalisable si et seulement si, si $Sp(u)= \{ \lambda_1, \cdots, \lambda_p \}$ alors $E=\displaystyle\bigoplus_{k=1}^p \ker(u- \lambda_k id)$
$\forall i \in [|1,k|] \ G_i \subset F(\lambda_i)$. Montrons que $u( G_1 \oplus \cdots \oplus G_k) \subset G_1 \oplus \cdots \oplus G_k$ : soit $x \in G_1 \oplus \cdots \oplus G_k$. Alors, $x=x_1 + \cdots + x_k$ où $(x_1, \cdots, x_k) \in G_1 \times \cdots \times G_k$. Alors $u(x)=u(x_1+ \cdots +x_k)= u(x_1) + \cdots + u(x_k)= \lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_k x_k \in G_1 \oplus \cdots \oplus G_k$ d'où le résultat.
Si $G$ est stable par $u$ alors $u_{|G}$ est diagonalisable d'après la question $b$ et aussi d'après le cours $\chi_{u_{|G}} \mid \chi_u$ donc le spectre de l'endomorphisme induit par $u$ sur $G$ est inclus dans le spectre de $u$.
Pour le dernier point je réfléchis et je le fais.
Soit $K$ un corps infini. Soit $F$ un espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à $2$. Alors, il existe $a,b \in F$ tel que $a$ et $b$ ne soient pas liés.
Il est évident que $\forall \lambda \in K \ Vect(a+ \lambda b) \subset F$ par la définition d'un espace vectoriel.
Montrons que si $\lambda \ne \lambda '$ alors $Vect(a+ \lambda b) \ne Vect(a+ \lambda' a)$.
Par l'absurde, si pour $\lambda \ne \lambda'$ on a $Vect(a+ \lambda b) =Vect(a+ \lambda' b)$ alors $a+ \lambda b \in Vect(a+ \lambda' b)$.
Donc il existerait $\mu \in K$ tel que $a+ \lambda b = \mu (a+ \lambda ' b)$ soit $(1- \mu)a +( \lambda - \mu \lambda ') b=0$
Comme la famille $(a,b)$ est libre on a $\mu=1$ et $\lambda= \lambda'$ ce qui est absurde car on a supposé $\lambda' \ne \lambda$.
Finalement $\boxed{\forall \lambda \in K \ Vect(a+ \lambda b) \subset F}$ il existe donc une infinité de droites vectorielles incluses dans $F$.
Après certaines preuves sont difficiles et pas faciles à refaire seul, comme la preuve sur la décomposition en irréductibles dans un anneau principal.
Certaines preuves sur les groupes cycliques ne me semblent pas faciles du tout.
Mais sur les polynôme par exemple, c'est vrai que les preuves sont accessibles.
Il ne sert à rien de faire un exercice de théorie des groupes qui nécessite de bien comprendre son cours sur les groupes quotients et le groupe symétrique quand on ne connait même pas le cardinal du groupe alterné ou qu'on ignore comment construire un isomorphisme d'un groupe d'ordre 2 dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$... C'est pourquoi personnellement, je n'interviendrai plus pour ce genre d'exercices ; t'aider à les résoudre ne t'aidera pas à progresser car tu n'as pas les bases.
En tout cas, tu sembles déterminé et tes différents topics montrent que même si tu t'y prends très mal, tu prends du temps pour (essayer) de faire des mathématiques. C'est super, mais il faut prendre en compte les conseils qui t'ont été donnés urgemment !
EDIT : Je constate que tu as ouvert un topic sur un autre exercice de l'agrégation docteur et tu bloques encore à la première question. C'est effarant !! Renonce à le faire, ça n'a aucun intérêt.
Je connais le cours sur le groupe symétrique. J'ai l'impression d'avoir bien compris le cours sur les groupes quotients.
Les groupes cycliques ça me semble déjà plus difficile.
Non, trop compliqué! Tu commences déjà par regarder ce qui se passe quand tu fais a*a (en plus pas de problème de commutativité dans ce cas).
Puis tant qu'à faire tu recommences: a*a*a et ainsi de suite...
Si ton groupe est de cardinal fini alors nécessairement tu auras 2 fois la même résultat et tu regardes ce que ça induit ensuite (ah tiens on commence à voir apparaître un sous groupe cyclique).
Aucun étudiant n'aurait imaginé dire : on n'a pas vu les arcs-en-ciel en cours, donc on ne peut pas faire.
Quand tu dis "j'étudie les démo mais c'est impossible de toutes les retenir", c'est totalement ridicule. Les maths, c'est avant tout de la compréhension, et un petit peu de mémoire.
Le truc, c'est qu'un exercice qu'on trouve soi-même, ça sert 100 fois plus qu'un exercice qu'on ne trouve pas soi-même, et pour lequel on va lire le corrigé, ou on va demander 10000 indices hyper-détaillés.
Quand tu trouves toi-même l'astuce, le truc, tu ne l'oublies pas.
Quand tu passes 1000 heures à travailler sur des exercices qui te dépassent totalement, tu progresses moins qu'en travaillant 10h sur des exercices à ta portée.
Je suis d'accord avec Raoul, à mon avis soit t'as jamais vu ce qu'est un groupe cyclique, soit ce n'est effectivement qu'une impression, parce que parmi tous les groupes que tu peux connaitre, il n'y a pas plus agréable qu'un groupe cyclique !
Dans les groupes cycliques, il y a beaucoup de résultats à connaître. Pour les groupes quotients c'est toujours la même chose, théorème d'isomorphisme.
Par exemple un théorème très utile mais dont j'ai du mal à me souvenir.
Soit $G$ un groupe et $a \in G$ tel que $a^n=1$. Il existe un unique morphisme $f : \Z /n \Z \longrightarrow G$ tel que $f(\bar{1})=a$ et il est défini par $\forall \bar{k} \in \Z / n \Z, \ \ f(\bar{k})=a^k$.
Je ne vois pas comment on peut retenir ce genre de proposition.
J'interdis à mes élèves de copier le corrigé s'ils ne l'ont pas cherché... et je les oblige à faire autre chose que suivre le corrigé si c'est leur cas. S'ils ont besoin d'une aide ponctuelle dans l'exercice, je peux la leur donner, mais le corrigé ne leur sert à rien.
Petit à petit, ils se rendent compte que la meilleure façon de progresser, c'est de se porter volontaire pour passer au tableau, quitte à faire des erreurs, parce qu'au moins, ils sont sûrs d'avoir une correction !
90% des élèves veulent passer corriger.
Pourtant je suis en REP et le taux de réussite au brevet de mon établissement est en-dessous de 70%.
Ici tu choisis les exercices (tu es le prof) et les élèves (JLapin, Amédé, Raoul ... ...) cherchent les exercices.
Et globalement, tu choisis assez bien les exercices adaptés à leur niveau, c'est bien. Du coup, ils progressent.
Mais toi, le prof, tu ne progresses pas.
🤣