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Nombre de sous-espaces stables

Modifié (21 Sep) dans Algèbre
Bonsoir
Aucune idée pour la question c).
a) Le polynôme minimal est scindé à racines simples.
b) Supposons $u$ diagonalisable. Alors $\pi_u$ est scindé à racines simples. Or, $\pi_u(u)=0$ car le polynôme minimal est annulateur donc $\pi_u( u_{|F} )=0$. Ainsi, $u_{|F}$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, il est donc diagonalisable.

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Réponses

  • Bonjour
    Si par exemple une valeur propre est d'ordre 2.  Observe l'opérateur $u_{|F}$  où $F$ est le sev propre correspondant à cette valeur propre.   
  • Autre indication : à quelle condition les sev propres ont-ils eux-mêmes un nombre fini de sous-ev ?
  • @john_john je ne vois pas comment répondre à cette question.

    @bd2017
    Je n'ai pas compris ce qu'il faut faire.
    $F=E_{\lambda} =\ker (u - \lambda id_E )$ et $E_{\lambda}$ est un plan vectoriel car il est de dimension $2$.
    Soit $x \in F$. Alors $u(x)= \lambda x$. On a $\forall x \in F \ u_{F} (x)= \lambda x$.
  • Autre indication ? À quelle condition un espace vectoriel sur un corps infini admet-il un nombre fini de sous-espaces ?
  • J'ai du mal à voir où utiliser le fait que le corps est infini.
    Je n'ai jamais lu un cours qui parle d'espaces vectoriel sur un corps infini.

    Je dirais qu'il faut que l'espace vectoriel soit de dimension finie.

  • Modifié (22 Sep)
    $\R^2$ est un espace vectoriel de dimension fini, et de corps infini. Combien contient t-il de sous espaces vectoriels ?
  • Modifié (22 Sep)
    Enfin @OShine, toute l'algèbre linéaire que tu as étudiée se fait dans des espaces vectoriels de dimension finie (d'ailleurs lis bien l'énoncé). Alors certes, ce fut sur des $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$-espaces vectoriels en général, mais si tu prends du recul sur ce que tu as appris, tu verras qu'il y a peu de moments où le choix du corps eut une réelle importance dans la théorie ! En tout cas, ce n'est pas parce qu'on ne t'a pas parlé des espaces vectoriels sur un corps $K$ quelconque que tu ne peux rien faire dans cet exercice et qu'il y a forcément toute une théorie dessus !
  • Barry a dit :mais si tu prends du recul sur ce que tu as appris, tu verras [...] !
    Le "si" est d'une importance capitale...
  • noobey a dit :
    $R^2$ est un espace vectoriel de dimension fini, et de corps infini. Combien contient t-il de sous espaces vectoriels?
    Il en contient 3. L'espace nul, lui-même et $\R$.

    D'ailleurs ça tombe bien j'allais étudier les corps dans le Liret.
  • Modifié (22 Sep)
    OShine a dit :
    noobey a dit :
    $R^2$ est un espace vectoriel de dimension fini, et de corps infini. Combien contient t-il de sous espaces vectoriels?
    Il en contient 3. L'espace nul, lui-même et $\R$.
    D'ailleurs ça tombe bien j'allais étudier les corps dans le Liret.
    Je cite avant qu'il ne modifie son message comme d'habitude ! 

    J'en étais sûr que tu allais te tromper !  Encore une Oshinerie... Si tu ne sais toujours pas ce qu'est un espace vectoriel, je te conseille pas de t'attaquer à ce type d'exercice.
  • Modifié (22 Sep)

    Spectaculaire ! Heureusement que tu maîtrises bien l'algèbre linéaire de première année post bac après de nombreuses heures d'étude sur le Grifone,  le Tout en un dunod et les sujets de l'agreg docteur !

  • Modifié (22 Sep)
    @OShine d'ailleurs lorsque tu dis $\R$ tu veux dire $\{0\}\times \R$ ou $\R\times \{0\}$ ?, tien ça en fait 4 maintenant :mrgreen:

    Peut-être que ça va t'inspirer pour en trouver d'autres...
  • Modifié (22 Sep)
    Première grande leçon pour Barry, le petit nouveau qui ne connaissait pas les compétences d'OS, celle qui m'ont fait arrêter de l'aider au bout de 2 ans peu utiles sur 2 forums différents. On parlait ensemble d'espaces vectoriels réels il y a 4 ans !! Les autres intervenants savent à quoi s'attendre ...
    Cordialement.
  • Que dire de la droite d'équation y=x sinon ? Et de manière générale toutes les droites passant le point de coordonnées nulles ? 
  • Modifié (22 Sep)
    J'ai été trop vite, c'est $\{ (0,0) \}$ et $Vect(1,1)$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^2$. 
    Toute droite passant par l'origine, il y en a une infinité de sous-espaces vectoriels de $\R^2$.
  • Cette question me semble bien difficile, elle est posée sans aucune question intermédiaire, je ne vois pas comment trouver ce genre de question si on n'a pas déjà fait cet exercice, ça me semble mission impossible.
  • @OShine : soit $a$ une valeur propre de $u$ et $e_a$ un vecteur propre associé à $a$. Que dire de la droite vectorielle $\Bbb{K}e_a$ par rapport à $u$ ? Pourquoi ?
  • Bonjour,

    > @OS: Cette question me semble bien difficile, elle est posée sans aucune question intermédiaire

    Ben si, les deux questions d'avant.
    Ce n'est quand même pas compliqué de voir que ta condition est qu'il y ait $n$ valeurs propres distinctes, et alors il y a $n$ sous espaces stables qui sont les droites propres correspondantes.
    Bien sûr, ça se complique si $\mathbb{K}$ est fini.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (22 Sep)
    Et après, ça veut faire des sujets d'agreg docteurs et des X-ENS. Meilleur que Coluche, Oshine en maths  !
    Deux "Je vous salue Évariste" au réveil et trois "Domine Salvum Fac Galois" au coucher pour progresser en mathématiques.
  • @Rescassol : Ah non, il y a (beaucoup) plus de sous-espaces stables, tu as par exemple oublié $\{0_E\}$.
  • Bonjour,

    Oui j'ai oublié le nul et l'espace entier. Donc il y en a $n+2$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (22 Sep)
    @Rescassol
    Pas compris le rapport avec les valeurs propres et les sous-espaces propres.
    Toi tu le vois, moi je ne vois rien. Je rappelle que j'ai d'énormes difficultés avec les sous-espaces stables. 
    Je n'ai jamais réussi un exercice sur les sous-espaces stables.

    @Thierry Poma
    $u(e_a)= a e_a$. Soit $\alpha \in \Bbb{K}$. Alors $u( \alpha e_a)= \alpha u(e_a)= \alpha a e_a \in \Bbb{K} e_a$

    Donc $\boxed{u( \Bbb{K} e_a) \subset \Bbb{K} e_a}$.


  • Plutôt $2^n$, non ? Et si $E$ est de dimension finie sur un corps fini, il n'y a qu'un nombre fini de parties, alors, les sev, stables ou non...
  • On m'a envoyé une solution qui prend 5 lignes en privé mais je ne comprends rien.

  • @Rescassol : Je trouve $2^n$ comme @john_john (un sous-espace stable étant somme directe quelconque de droites propres).
  • Bonsoir,

    Ok, je devais être endormi.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (22 Sep)
    Bonsoir,
    il faut et il suffit que le polynôme minimal de $u$ soit de degré $n$.
  • Vous avez trouvé c'est bien mais moi je ne comprends rien. 
  • Que se passe-t-il pour une homothétie sur un espace vectoriel de dimension $\geq 2$ ?
  • Modifié (22 Sep)
    @OShine : si $P$ est une partie non vide de $E$ peuplée de vecteurs propres de $u$, que peux-tu dire du sous-espace de $E$ engendré par $P$ par rapport à $u$ ?
    Hint: décrire ce sous-espace de $E$ comme somme directe de droites vectorielles à préciser.
  • Modifié (22 Sep)
    @Thierry Poma
    Je ne comprends pas la question.
    @gai requin
    Je ne comprends pas la question.
    [Ne serait-il pas temps d'aller te reposer ? Une nuit de sommeil arrange souvent les choses. AD]
  • Modifié (23 Sep)
    @OShine : voici un rappel : les assertions suivantes sont équivalentes :
    • L'endomorphisme $u$ est diagonalisable.
    • Il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale. Le cardinal d'une telle base est nécessairement égal à $n$.
    • Le polynôme caractéristique de $u$ est scindé sur le corps $\Bbb{K}$ (supposé infini) et, pour toute valeur propre de $u$, sa multiplicité est égale à la dimension du sous-espace propre associé. De plus, $E$ est somme directe de ces sous-espaces propres.
    Enfin et de manière générale, si $\mathcal{B}$ est une base quelconque de $E$, alors\[E={\bigoplus}_{e\in\mathcal{B}}\Bbb{K}e\]

  • Oui je suis d'accord mais je ne comprends pas les indications et je ne sais pas appliquer le cours à cet exercice.
  • Bonjour,

    On suppose $u$ diagonalisable de valeurs propres $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ distinctes. On a donc $E=F(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus F(\lambda_k)$, où $F(\lambda_i)$ est le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda_i$.
    Les sous-espaces de $E$ stables par $u$ sont les $G_1\oplus\cdots\oplus G_k$ où $G_i$ est un sous-espace de $F(\lambda_i)$, éventuellement réduit à $\{0\}$. En effet : 
    i) une telle somme directe est stable par $u$,
    ii) si $G$ est stable par $u$, alors la restriction de $u$ à $G$ est diagonalisable à valeurs propres parmi $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ puisque $\prod_{i=1}^k(X-\lambda_i)$ annule cette restriction.
    Il y a donc un nombre fini de sous-espaces stables si et seulement si chaque $F(\lambda_i)$ a un nombre fini de sous-espaces, autrement dit si et seulement si $\dim(F(\lambda_i))=1$ pour tout $i$. En effet, sur un corps infini, un espace de dimension $\geq 2$ contient un nombre infini de droite vectorielles, et $\dim(F(\lambda_i))>0$. Une droite vectorielle (de dimension $1$) contient deux sous-espaces : la droite elle-même et $\{0\}$.
    Par conséquent, il y a un nombre fini de sous-espaces stables si et seulement si chaque sous-espace propre est de dimension 1 (une droite vectorielle), autrement dit si $u$ a $n$ valeurs propres simples. Le nombre de sous-espaces stables est alors $2^n$.
  • Modifié (23 Sep)

    Soit $m$ le nombre de valeurs propres de $u$ (supposé diagonalisable). Soit $S$ l'ensemble des sous-espaces de $E$ stables par $u$. 

    Si $m<n$ alors, comme la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$, il y a au moins un sous-espace propre $E_{a}=\ker\left(u-aid\right)$ de dimension strictement supérieure à $1$. Soient $v$ et $w$ libres dans $E_{a}$. L'application $f$ qui à tout élément $r$ de $\mathbb{K}$ associe le sous-espace $f\left(r\right)=\text{Vect}\left(v+rw\right)$ est injective car si $\text{Vect}\left(v+rw\right)=\text{Vect}\left(v+r'w\right)$ alors il existe $x$ dans $\mathbb{K}$ tel que $v+rw=x\left(v+r'w\right)$ donc $\left(1-x\right)v+\left(r-r'\right)w=0$ et par liberté de $v$ et $w$ on a $r=r'$. D'autre part, $f\left(r\right)$ est stable par $u$ car $u\left(v+rw\right)=u\left(v\right)+ru\left(w\right)=av+arw=a\left(v+rw\right)\in f\left(r\right)$ ce qui assure que $\text{Vect}\left(v+rw\right)$ est stable par $u$. Donc on a construit une injection de $\mathbb{K}$ dans $S$. Comme $\mathbb{K}$ est infini, $S$ est infini.

    Si maintenant $m=n$, alors notons $\left(e_{i}\right)_{i\in n}$ une base de vecteurs propres associés, respectivement, aux valeurs propres deux à deux distinctes $a_{i}$. À chaque partie $A$ de l'entier $n$ (il y a donc $2^{n}$ parties $A$ possibles), on associe $g\left(A\right)=\text{Vect}\left(\left\{ e_{i}|i\in A\right\} \right)$. $g$ est injective car la famille $\left(e_{i}\right)_{i\in n}$ est libre. Comme les $e_{i}$ sont propres, pour tout $A\subset n$, $g\left(A\right)\in S$. De plus si, $F\in S$ alors, $E=\oplus_{i\in n}\mathbb{K}e_{i}$ donc $$F=\bigoplus_{i\in n}\underbrace{\left(\mathbb{K}e_{i}\cap F\right)}_{F_{i}}$$ Si $e_{i}\in F$ alors $F_{i}=\mathbb{K}e_{i}$ sinon $F_{i}=\left\{ 0\right\} $ donc si l'on pose $A=\left\{ i\in n\mid e_{i}\in F\right\} $ on obtient que $F=\oplus_{i\in A}\mathbb{K}e_{i}=g\left(A\right)$. Donc $g$ est surjective. Ainsi $g$ établit une bijection de l'ensemble des $2^{n}$ parties de $n$ sur $S$. Donc il y a $2^{n}$ sous-espaces stables par $u$.

    En conclusion, le nombre de sous-espaces de $E$ stables pour $u$ est fini si, et seulement si le polynôme caractéristique de $u$ est scindé à racines simples, et, dans ce cas, $E$ possède $2^{\dim E}$ tels sous-espaces.

    Édit : grilled à la minute près ! (mais solution d'un autre style)

    Édit 2: complément pour justifier la somme directe égale à $F$ suite à la remarque de GaBuZoMeu. $u_{|F}$ est diagonalisable avec des valeurs propres parmi les $a_{i}$ (disons pour $i\in A)$ dont les sous-espaces propres associés $F_{i}$ sont de dimension 1 inclus dans le sous-espace propre $\mathbb{K}e_{i}$ de $u$ associé à la valeur propre $\lambda_{i}$ lui aussi de dimension 1 donc $F_{i}=\mathbb{K}e_{i}$. Donc $F=\oplus_{i\in A}\mathbb{K}e_{i}$.

  • @troisqua, je vois un gros trou dans ta démonstration :
    " $E=\oplus_{i\in n}\mathbb{K}e_{i}$ donc $$F=\oplus_{i\in n}\underbrace{\left(\mathbb{K}e_{i}\cap F\right)}_{F_{i}}$$"
    C'est faux en général, vrai si $F$ est stable, mais la démonstration de ce fait manque.
  • Belles preuves, elles sont très intéressantes. Merci à vous !
  • Question clairement infaisable. Il faut vraiment avoir un niveau exceptionnel pour trouver cette question en temps limité.

    @GaBuZoMeu
    Merci j'ai tout compris sauf le $2^n$ je ne comprends pas d'où il sort.

    Comment on passe de $n$ valeurs propres distinctes et chaque sous-espaces propres de dimension $1$ à la conclusion $2^n$ sous-espaces stables ? 
  • Modifié (23 Sep)
    On choisit un sous-espace dans chaque droite vectorielle $F(\lambda_i)$ (donc deux choix possibles) pour $i=1,\ldots,n$.
  • Modifié (23 Sep)
    GaBuZoMeu a dit :
    @troisqua, je vois un gros trou dans ta démonstration :
    " $E=\oplus_{i\in n}\mathbb{K}e_{i}$ donc $$F=\oplus_{i\in n}\underbrace{\left(\mathbb{K}e_{i}\cap F\right)}_{F_{i}}$$"
    C'est faux en général, vrai si $F$ est stable, mais la démonstration de ce fait manque.
    Tu as raison, j'aurais dû le détailler. Il faut bien qu'il reste quelque chose :)
    Édit: j'ai rajouté ce qui manquait.

  • Ok merci.

    Je pense que dans une épreuve d'agreg dire que tout sous-espace de dimension supérieure à $2$ sur un corps infini contient une infinité de droites vectorielles est à démontrer, ce n'est pas un résultat de cours....
  • Bonjour,

    OShine, soient $u$ et $v$ deux vecteurs linéairement indépendants.
    Les droites de base $u+av$ pour $a \in \mathbb{K}$ devraient faire l'affaire.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol, c'est la preuve que j'ai donnée.
  • Bonjour,

    Ah oui, Troisqua, je n'avais pas vu.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (23 Sep)
    @troisqua
    Tu aimes beaucoup utiliser l'injectivité partout.

    Je peux le démontrer dans utiliser l'injectivité juste la définition d'une famille libre.

    Tes preuves sont trop techniques comme le $g(A)$ pas compris qui est l'application $g$.
  • Modifié (23 Sep)
    OShine, tes avis, tes commentaires ne m'intéressent pas. Recevoir de ta part une évaluation de ce que je fais me fait sourire. Je n'écris pas pour toi, même si c'est toi qui as recopié ce problème. Désolé.
  • @Oshine : dire qu'une famille d'un ev est libre équivaut à dire qu'une certaine application linéaire est injective ; dire qu'une famille d'un ev est génératrice équivaut à dire qu'une certaine application linéaire est surjective.
  • Modifié (23 Sep)
    @OShine : la preuve de @troisqua, qui ne s'adresse pas à toi nécessairement, est effectivement technique. Elle repose sur une idée des entiers différente que celle que tu possèdes, par exemple celle-ci (méthode de von Neumann). C'est ainsi que $0\in1$, ou encore que $0\in2$, tout comme $1\in2$, etc. Cela dit, quand troisqua écrit $m<n$, cela revient à lire $m\in{}n$, de sorte que, comme tout entier de cette espèce est $\in$-transitif (ouff !), $m\subset{}n$ strictement. Amuse-toi à le vérifier pour les entiers cités dans le lien.
    Si $n$ est un entier, il est alors possible de considérer l'ensemble $\mathfrak{P}(n)$ de ses parties, sur lequel la fonction $g$ est définie, tout en sachant que $\mathrm{Card}\left(\mathfrak{P}(n)\right)=2^n$. Franchement, je ne veux pas t'en dire d'avantage, sachant que ce qui précède manque totalement de rigueur et est imprécis.
  • OShine a dit :
    @troisqua
    Tu aimes beaucoup utiliser l'injectivité partout.

    Je peux le démontrer dans utiliser l'injectivité juste la définition d'une famille libre.

    Tes preuves sont trop techniques comme le $g(A)$ pas compris qui est l'application $g$.

    C'est insupportable... détestable personnage !
  • Je n'ai jamais compris les mathématiques de certaines personnes du forum ce n'est pas une critique c'est un constat. C'est trop compliqué pour moi.
    Je vais créer ma solution avec les petites indications qu'on m'a données.
    D'ailleurs si j'ai payé Doc solus c'est parce que je ne comprends pas les mathématiques de la majorité des personnes qui corrigent les sujets de concours sur ups.
    Mais Doc solus j'arrive à comprendre, la qualité des corrigés est exceptionnelle peut importe le niveau des questions c'est détaillé à l'extrême.

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