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Un isomorphisme d'anneaux

Modifié (21 Sep) dans Algèbre
Bonjour,
je cherche à résoudre l'exercice suivant (exercice 11 chapitre XV d'algèbre le Grand combat).
Soit $K$ un corps de caractéristique différente de $2$ et $P = X^2 + aX + b$. On pose $\Delta = b^2 - 4a$. Démontrer que $K[X]/(P)$ et $K[X]/(X^2 - \Delta)$ sont isomorphes.
J'ai essayé d'utiliser le fait [que] $K$ n'est pas de caractéristique 2 en écrivant $P$ sous la forme $P = (X + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2 - 4b}{4}$ (à ce stade d'ailleurs je me demande s'il n'y a pas une erreur dans la définition de $\Delta$). Ensuite, je sais que pour tout $\lambda \in K$, $K[X]/(P)$ et $K[X]/(P(X - \lambda)$ sont isomorphes, mais en utilisant ce résultat j'obtiens un isomorphisme entre $K[X]/(P)$ et $K[X]/(X^2 - \frac{a^2 - 4b}{4})$ et je bloque : soit j'ai pris un mauvais chemin, soit j'approche du résultat (en supposant que la définition de $\delta$ est mauvaise) mais je peine à me débarrasser du facteur $\frac{1}{4}$.
Pourriez-vous me donner une indication s'il vous plaît ?

Réponses

  • Sauf erreur il y a une erreur d'énoncé. Si je prends $K:=\Q$, $a:=1$ et $b:=2$ alors $P=X^2+X+2$ est irréductible et $K[X]/(P)$ est un corps tandis que $K[X]/(X^2 - \Delta)=K[X]/(X^2)$ non.
  • A vue de nez $\Delta = a^2-4b$ paraît plus naturel.
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  •  Salut, dans un corps qui n'est pas de caractéristique 2, 4 est différent de 0, donc inversible, puisque c'est un corps (et c'est un carré, son inverse aussi). Raoul.S est allé un peu vite, $X^2-\Delta$ peut très bien être irréductible dans $K[X]$ (par exemple $X^2-2$, K=Q) 
  • Modifié (21 Sep)
    Oui, c'est pour ça que je me demandais s'il y avait une erreur, car ce n'est pas le même discriminant que celui habituellement défini...
    Merci @raoul.S pour ce contre-exemple qui confirme que cela ne fonctionne pas avec cette valeur de $\Delta$. Je pense aussi, mais je vais m'y pencher pour tenter de le confirmer, que c'est plutôt un isomorphisme entre $K[X]/(P)$ et $K[X]/(X^2 - \frac{\Delta}{4})$. En tout cas, la suite de l'exercice peut être résolu avec cet isomorphisme :
    - Si $\Delta = 0$, montrer que $P$ a une racine double puis qu'il y a un isomorphisme entre $K[X]/(P)$ et $K[X]/(X^2)$
    - Si $\Delta$ est un carré de $K$, montrer que $P$ possède deux racines distinctes dans $K$ puis que $K[X]/(P)$ est isomorphe à $K \times K$.
    - Si $\Delta$ n'est pas un carré, montrer que $P$ n'a pas de racines et que $K[X]/(P)$ est un corps (à ce stade du livre, la notion d'éléments irréductibles n'est pas connue, donc il faut procéder autrement).
  • Désolé Raoul.S pour hier, je suis passé à côté du discriminant mal défini (c'est moi qui suis allé trop vite). Barry, après correction sur le discriminant, tu peux conserver l'énoncé initial. Les automorphismes de $K[X]$ de forme $F(X) \rightarrow F(\alpha X +\beta ) $ ne nécessitent pas que $\alpha$ soit égal à 1
  • Pas de problème.
  • Modifié (22 Sep)
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    J'avais pris $\alpha=1$ vu l'exercice, mais merci pour la précision !
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