Un déterminant et une trace — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Un déterminant et une trace

Modifié (20 Sep) dans Algèbre
Bonjour
On vient de me proposer cet exercice que je partage.
Soit A une matrice d'ordre $n$ [de taille $n\times n$ ?], à coefficients $(a_{i,j})$ vérifiant :
$a_{i,1}=a_{1,j}=1,\quad  \forall 1\leq i,j\leq n,\quad a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}+n, \quad   \forall 1< i,j\leq n$.
Calculer la trace de $A$ et son déterminant.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien

Réponses

  • Bonjour,
    On a donc $a_{i,j}= C_{i+j-2}^{i-1}(1+n) - n$.
  • Merci, je vais essayer de retrouver ce calcul, donc le calcul de la trace est pliée.  Il reste le déterminant. 
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Rien d’évident n’apparaît quand je fais tourner mon ordi . Excepté que $\det M_9 = 100000000$
    --->  ~ Heartbeat Heartbeat ~ www.youtube.com/watch?v=yogaAzfzpkk <---
  • ce qui colle bien avec $(1+n)^{n-1}$.
  • Numériquement, les premières valeurs sont : 1, 3, 16, 125, 1296, 16807, 262144, 4782969, 100000000, 2357947691, 61917364224
    Ce qui donne la suite A000272 de lOEIS....
    (Ce que l'on ne fait pas pour laisser les copies de côté).
  • Pas besoin d'ordinateur ni d'OEIS : Pascal suffit !
  • Modifié (20 Sep)
    Bonjour
    Le déterminant vaux  $(n+1)^{n-1}$
  • Copieur ! :)
  • Modifié (20 Sep)
    Ce que je sais, c'est seulement que la matrice définie par 
    $$a_{i,1}=a_{1,j}=1,\quad  \forall 1\leq i,j\leq n,\quad a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}, \quad   \forall 1< i,j\leq n$$ est la matrice de Pascal.
    Pour s'y ramener, je ne sais pas pour le moment !
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (20 Sep)
    Tu n'arrives pas à la formule de mon premier message ?
    C'est pourtant une récurrence simple.
  • Modifié (20 Sep)
    Je suis dans un café avec mes amis, Le soir,  j'aurais le temps, la tranquillité et papier crayon. Ce qui me fait plus de peur c'est le calcul de ce déterminant monstrueux.
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Bah, ce monstre se dégonfle vite.
  • Rassure moi, pour ce déterminant, vous n'utilisez pas un truc de genre A=L.U ( A comme produit de deux matrices comme pour la matrice de Pascal)
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Bah, retirer à une colonne la colonne précédente, puis retirer à une ligne la ligne précédente, ça ne devrait pas te faire peur. Si ?
  • On verra quand je serai chez moi .

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (20 Sep)
    Oui ça se dégonfle si on a l'idée de ta première opération sur les colonnes qui donne $\det(A)=\det (B)$ avec $B=b_{i,j}$ d'ordre $n$ définie par
    $a_{i,1}=1,\ \forall i\ge 1$, $\ b_{1,j}=0,\ \forall j\geq 2$
    $b_{i,j}=(n+1) C^{i-2}_{i+j-3} ,\ \forall i,j\ge 2$
    Et on développe par rapport à la première ligne en factorisant par ce fameux $(n+1)$ qui sort du déterminant en $(n+1)^{n-1}$ que je ne voyais pas de tête.
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (21 Sep)
    J'invente cette matrice diabolique $$a_{i,1}=a_{1,j}=1,\quad  \forall 1\leq i,j\leq n,\quad a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}+i-j, \quad   \forall 1< i,j\leq n$$
    Calculer son déterminant. Je ne garantis rien 
    Est ce que quelqu'un peut entrer ce code dans marhematica 

    RSolve[{a[n,k]==a[n-1,k]+a[n-1,k-1]+n-k ,a[n,1]==1,a[1,n]==1},a[n,k],{n,k}]
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Il me semble que $\det(A_n)=F_n$ (suite de Fibonacci), je l'ai vérifié jusqu'à $n=12$.
  • Merci, ca devient intéressant.

    @Boécien Mon compagnon, toi qui aime les suites de Fibonacci, vient dans ce fil, c'est un ordre .

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Il me semble que la trace de $A_n$ est égale à $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{\binom {2k} k}$.
  • Bonjour @Jandri tu as trouvé quoi pour les coefficients de la matrice $a_{i,j}$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Ce n'est pas simple : $a_{i,j}=\displaystyle{\binom{i+j-1}{j}}-{\binom{i+j-2}{i}}-i+j$.
  • Merci Jandri, Tu me refroidis les os. Ne perd pas ton brouillon stp. Je vais essayer mais je sens que je n'y arriverais jamais 
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (21 Sep)
    @Jandri  je trouve $$a_{i,j}=\binom{i+j}{i}+j-i,\quad \forall 2\leq i,j\leq n$$avec  bien sûre $a_{i,1}=a_{1,j}=1,\quad  \forall 1\leq i,j\leq n$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Les calculs numériques sur des petites valeurs semblent donner raison à @jandri mais pas à @gebrane.
    sage: def a(i,j):
    ....:    """ récurrence initiale """
    ....:     if i==0 or j==0:
    ....:         return 1
    ....:     return a(i-1,j)+a(i,j-1)+i-j
    ....: 
    sage: def b(i,j):
    ....:    """ version de jandri """
    ....:     i, j = i+1, j+1
    ....:     return binomial(i+j-1,j)-binomial(i+j-2,i)-i+j
    ....: 
    sage: def c(i,j):
    ....:    """ version de gebrane """
    ....:     if i==0 or j==0:
    ....:         return 1
    ....:     i, j = j+1, j+1
    ....:     return binomial(i+j,i)+j-i
    ....: 
    sage: Matrix(8,8,a)-Matrix(8,8,b)
    [0 0 0 0 0 0 0 0]
    [0 0 0 0 0 0 0 0]
    [0 0 0 0 0 0 0 0]
    [0 0 0 0 0 0 0 0]
    [0 0 0 0 0 0 0 0]
    [0 0 0 0 0 0 0 0]
    [0 0 0 0 0 0 0 0]
    [0 0 0 0 0 0 0 0]
    sage: Matrix(8,8,a)-Matrix(8,8,c)
    [     0      0      0      0      0      0      0      0]
    [     0     -4    -18    -69   -253   -928  -3440 -12883]
    [     0     -2    -14    -64   -249   -928  -3448 -12904]
    [     0      1     -6    -50   -230   -908  -3435 -12911]
    [     0      5      7    -22   -182   -839  -3352 -12834]
    [     0     10     26     26    -85   -672  -3101 -12505]
    [     0     16     52    101     88   -331  -2508 -11582]
    [     0     23     86    211    372    295  -1288  -9438]


  • Modifié (22 Sep)
    Merci @Math Coss   C'est un calcul flippant 
    Peux-tu expliquer tes calculs stp @Jandri et si possible avec les détails qu'il faut.
    (J'ai posé cette question sur un autre forum et ils ont trouvé que ma formule est fausse, je vais leur proposer celle de Jandri).
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Pour trouver la formule je suis passé par $b_{i,j}=a_{i,j}+i-j$ qui vérifie $b_{i,j}=b_{i-1,j}+b_{i,j-1}$.

    Mais une fois qu'on a la formule pour $a_{i,j}$ elle se démontre très facilement par récurrence (il suffit d'utiliser la relation de Pascal).
  • Merci, le calcul de ce déterminant relève de la sorcellerie mathématiques.
    J'abandonne. 
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (24 Sep)
    Juste une remarque sans intérêt. Si $a_{i,j}={j \choose i+j-1}-{i \choose i+j-2}-i+j$ alors le déterminant de la matrice de terme $b_{i,j}=a_{i,j}+a_{j,i}=2{i-1 \choose i+j-2}$ vaut $2^{n}$.

  • Cette question est intouchable  comme la tienne
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (24 Sep)
    Je pense que c'est jouable pour un "combinatoriste" car il y a plein de sommes avec les binomiaux liées aux Fibonacci. Si on prend $a_{i,j}={j\choose i+j-1}-{i \choose i+j-2}-x+y$ il semble que le déterminant vaut $F_{n+1}+\left(y-x\right)F_{n}$. Donc on peut essayer de montrer le cas $x=y$.

  • Modifié (24 Sep)
    Je signale cet article sur le calcul de déterminants mais pour l'instant je n'arrive pas à appliquer. On y trouve des cas avec les binomiaux mais pas directement celui là comme le (2.19), (3.30), (3.31)....
    Dans les références on a aussi celui-ci .
  • Ok, je vais reprendre la question en s'inspirant de tes liens
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (27 Sep)
    Je pense que la méthode de Gabu s'applique retirer à une colonne la colonne précédente, puis retirer à une ligne la ligne précédente. 

    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Oui c'est pourquoi il suffit de s'intéresser au déterminant de la matrice $M_n$ de terme $a_{i,j}={j \choose i+j-1}-{i \choose i+j-2}$ qui semble valoir $F_{n+1}$.  Cela suggère de montrer que ce déterminant vérifie la même relation de récurrence que les nombres de Fibonacci.

  • Il faut quelqu'un qui connait bien ces $\binom{}{}$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Modifié (25 Sep)
    J'ai réussi à démontrer que $\det(A_n)=F_n$ où $A_n$ est la matrice d'ordre $n$ de gebrane définie par : 
    $a_{i,1}=a_{1,j}=1$ pour $1\leq i,j\leq n$ et $a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}+i-j$ pour $1< i,j\leq n$.

    On introduit la matrice $B_n$ dont le terme général est défini par $b_{i,j}=a_{i,j}+i-j$.
    Elle vérifie $b_{i,1}=i$, $b_{1,j}=2-j$ et pour $i,j\geq2$ : $b_{i,j}=b_{i-1,j}+b_{i,j-1}$.

    On effectue sur la matrice $A_n$ les opérations $C_j\leftarrow C_j-C_{j-1}$ pour $j$ de $n$ à $2$ puis les opérations $L_i\leftarrow L_i-L_{i-1}$ pour $i$ de $n$ à $2$. Cela donne une matrice qui a des $0$ en ligne $1$ et colonne $1$ (à l'exception du premier terme qui vaut $1$) et le reste est la matrice $B_{n-1}$, donc $\det(A_n)=\det(B_{n-1})$.

    Ensuite on effectue les mêmes opérations sur la matrice $B_n+xJ_n$ où $J_n$ est la matrice d'ordre $n$ dont tous les termes valent $1$.
    On obtient la matrice écrite en 4 blocs : $\left (\begin{array}{c|c} 1+x & L \\ \hline  C&  B_{n-1} \end{array}\right)$ où $L$ est la ligne dont tous les termes valent $-1$ et $C$ la colonne dont tous les termes valent $1$. On en déduit $\det(B_n+xJ_n)=(1+x)\det(B_{n-1}+\frac1{x+1}J_{n-1})$

    On obtient alors par récurrence sur $n$ que $\det(B_n+xJ_n)=F_{n+1}+xF_n$ d'où $\det(B_n)=F_{n+1}$ puis $\det(A_n)=F_n$.


  • Modifié (27 Sep)
    Bravo @Jandri
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Il faut rendre à César ce qui appartient à César .  Chaque acte,  doit être attribuée à son auteur. Chacun doit être reconnu pour ce qu'il a fait, pas pour  ce qu'il a copié.  https://mathoverflow.net/questions/430944/hard-determinant-equal-to-fibonacci-sequence?noredirect=1#comment1110110_430944


    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!