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Série harmonique alternée et somme de Riemann

Modifié (20 Sep) dans Analyse
Dans cette vidéo est exposée une méthode de calcul de la série harmonique alternée qui n'utilise pas le développement en série de la fonction $x\rightarrow \ln(1+x)$ en $x=0$.
Ci-après la transcription du calcul.
Si \begin{align}S_n=\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\end{align} alors \begin{align}S_n&=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{-1}{2k}}_{=\frac{1}{2k}-\frac{1}{k}}\\
&=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}\right)-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\\
&=\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\sum_{k=n+1}^n \frac{1}{k}\\
&=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\
 \end{align} Or, \begin{align}\ln 2=\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\end{align}
Donc, \begin{align}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\ln 2\end{align}

Réponses

  • Modifié (20 Sep)
    C'est d'ailleurs sur cette identité remarquable que repose le premier exo des IMO 1979 je crois.
    https://imomath.com/othercomp/I/Imo1979.pdf
  • @Fin de partie  Il y a une faille dans la preuve que tu cites . Trouve la !
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (21 Sep)
    @Gebrane: Il y a un implicite. Que la série harmonique alternée est convergente, et donc, avec mes notations
    \begin{align}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n\end{align} est vraie.
  • S'il a dit dans la vidéo, c'est ok
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    Citation :  Je suis Jack 
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