Série harmonique alternée et somme de Riemann
Dans cette vidéo est exposée une méthode de calcul de la série harmonique alternée qui n'utilise pas le développement en série de la fonction $x\rightarrow \ln(1+x)$ en $x=0$.
Ci-après la transcription du calcul.
Si \begin{align}S_n=\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\end{align} alors \begin{align}S_n&=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{-1}{2k}}_{=\frac{1}{2k}-\frac{1}{k}}\\
&=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}\right)-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\\
&=\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\sum_{k=n+1}^n \frac{1}{k}\\
&=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\
\end{align} Or, \begin{align}\ln 2=\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\end{align}
Donc, \begin{align}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\ln 2\end{align}
Ci-après la transcription du calcul.
Si \begin{align}S_n=\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\end{align} alors \begin{align}S_n&=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n \underbrace{\frac{-1}{2k}}_{=\frac{1}{2k}-\frac{1}{k}}\\
&=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}\right)-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\\
&=\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\sum_{k=n+1}^n \frac{1}{k}\\
&=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\
\end{align} Or, \begin{align}\ln 2=\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\end{align}
Donc, \begin{align}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\ln 2\end{align}
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Réponses
https://imomath.com/othercomp/I/Imo1979.pdf
\begin{align}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n\end{align} est vraie.