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Limite d'une fonction de R^2

Modifié (20 Sep) dans Analyse
Bonjour à tous, j'ai un problème avec l'exercice suivant.  comment on peut faire pour montrer ce résultat et merci d'avance.

Réponses

  • Modifié (20 Sep)
    Tu peux commencer par montrer que la limite $\ell_\varphi=\lim_{x\to0}f(x,\varphi(x))$ ne dépend pas de la fonction $\varphi$. Le réel $L$ ainsi obtenu est un bon candidat pour être la limite de $f$.
  • Par contraposée ?
    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Modifié (20 Sep)
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Merci et comment on peut montrer que c'est la limite de $f(x,y)$ ?
  • Modifié (20 Sep)
    ev
    Comment?
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
  • "comment on peut montrer que c'est la limite de $f(x,y)$ ?"
    Par contraposée ?
  • Modifié (20 Sep)
    GaBuZoMeu
    je sais pas comment faire 
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]

  • evev
    Modifié (20 Sep)
    Je suppose que \( f \) n'admet pas de limite en \( (0,0) \).
    Soit \( L \in \R \). Tu sais que \( L \) n'est pas la limite de \( f \) en \( (0,0) \). Donc il existe un \( \varepsilon > 0 \) tel que pour tout \( \alpha > 0 \), il existe un couple \( (x,y) \in ]0,\alpha[\times]-\alpha,\alpha[ \) tel que \( \vert f(x,y) - L \vert > \varepsilon \).
    En spécifiant \( \alpha := 1/n \) tu peux construire une suite \( (x_n,y_n)_n \) de points qui converge vers \( (0,0) \). En ayant soin de contraindre la suite \( (x_n)_n \) à être strictement décroissante, tu poses \( \varphi(x_n) := y_n \) et tu prolonges par \( \varphi(x) := x \) ailleurs.
    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Modifié (20 Sep)
    @ev :
    LaTeX est fait par des anglo saxons qui ne notent pas les intervalles ouverts avec des crochets dans le mauvais sens. Par conséquent, quand on écrit des formules avec des crochets dans le mauvais sens, ça devient à peu près illisible. Ça se répare avec des \left] et des \right[ :
    $$(x,y) \in \left]0,\alpha\right[\times\left]-\alpha,\alpha\right[$$
    C'est tout de même nettement mieux comme ça, non ?
    Par ailleurs, je ne vois pas trop où tu vas si tu n'as pas pris la peine auparavant de montrer que tous les $f(x,\varphi(x))$ ont même limite $L$.
  • Merci tout le monde
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