Triangle anti-cévien

cailloux

Bonjour à tous

Un triangle $ABC$ et un point $P$ de son plan étant donnés, une construction du triangle anti-cévien $A'B'C'$ de perspecteur $P$ consiste, avec un logiciel de géométrie dynamique, a :
  - Construire $O$ isotomique de $P$ par rapport au triangle médian.
  - Construire les symétriques $A'_1,B'_1,C'_1$ de $A,B,C$ par rapport à $O$.
  - Construire la conique passant par 5 des points $A,B,C,A'_1,B'_1,C'_1$ via la commande "conique par 5 points" du logiciel utilisé.
  - Construire enfin les tangentes à cette conique aux points $A,B,C$.

  Existe-t-il une construction à l'ancienne (règle et compas) qui évite de passer par la conique circonscrite de perspecteur $P$ ?

Merci d'avance pour vos avis éclairés.

Bouzar

Bonjour

http://www.xtec.cat/~qcastell/ttw/ttweng/construccions/c2.html

Amicalement

cailloux

Bonjour Bouzar et merci.

Cela répond tout à fait à ma question.

poulbot

Bonjour
Une variante: $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ étant les points communs (alignés) des côtés correspondants de $ABC$ et du triangle cévien de $P$, les droites $AA^{\prime },BB^{\prime },CC^{\prime }$ sont les côtés du triangle précévien de $P$.
Bien cordialement (Poulbot)

pappus

Merci Poulbot

C'est sans doute ta construction qui est la plus simple.

Mais il faut surtout se rappeler qu'un point $P$ et les sommets de son triangle anti-cévien (par rapport à un triangle $ABC$), forment une orbite, appelée orbite harmonique, sous l'action d'un groupe $G$, à savoir le sous-groupe du groupe projectif laissant globalement invariant le triplet de points $\{A,B,C\}$

Ce groupe $G$ est isomorphe au $V$-groupe d'ordre $4$ de Klein.

Si on considère une orbite harmonique, chaque triplet de points extrait de cette orbite est le triangle anti-cévien du quatrième.

Comme la géométrie projective a disparu pour toujours de notre culture, on peut oublier sans dommage ce que je viens de dire!

Amicalement

pappus

cailloux

Bonjour à tous
Merci Poulbot; finalement, c'est ta construction que je vais utiliser pour une macro GeoGebra. Je vais même reprendre à mon compte le mot "précévien" que je préfère à "anti-cévien".

[Edit] J'avais bien remarqué le théorème de Desargues avec l'alignement $A'B'C'$ mais je viens seulement de faire le lien avec la tripolaire de pldx1.

Swingmustard

Bonjour Cailloux,

Exactement comme dans le lien proposé par Bouzar, je tracerais le triangle cévien $A'B'C'$.

Alors $A'', B'', C''$ sont les conjugués harmoniques, que geogebra peut tracer ainsi.

$A'' = Barycentre(\{A, A'\}, \{-1, -RapportColinéarité(P,A',A)\})$, etc...

(J'ai laissé les signes parce que j'applique une formule générale de conjugué avec un birapport $k=-1$, mais on peut bien sûr simplifier en $A'' = Barycentre(\{A, A'\}, \{1,RapportColinéarité(P,A',A)\})$

Amicalement,

Swingmustard

cailloux

Merci Swingmustard

Avant que Poulbot n'intervienne, j'avais réalisé une macro qui utilisait une construction géométrique pour le conjugué harmonique de 3 points alignés.

Mais je ne connaissais pas les commandes GeoGebra que tu m'indiques.

Merci encore !