Développement limité — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Développement limité

Modifié (18 Sep) dans Analyse
Bonjour,
Comment je montre que $$(1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x\,\sim\,−\frac{1}{2}x^2\ln(x) ,$$ au voisinage de zéro ?
J'écris
\begin{align}
    (1+x)^{\tfrac{ \ln x}{x}}-x&\,=e^{\tfrac{\ln x}{x} \ln(1+x)}-x
\\
&\,\sim e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{3})}-x
\end{align}
et j'utilise $e^{a+b}=e^a.e^b$ mais je ne tombe pas sur la réponse voulue. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance !

Réponses

  • De tête, je tombe sur la réponse voulue. Fais le développement limité jusqu'au bout au lieu d'essayer avec les équivalents.
  • Modifié (18 Sep)
    Si je fais le développement jusqu'au bout j'ajoute un petit o, non ?
    $    (1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x= e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{3}+ o(x^2)})-x$
    Mais je ne vois pas comment ça pourrait m'aider...

    Edit: $    (1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x= e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+o(x)})-x\sim x e^{\ln (x)(-\tfrac{x}{2})}$ et je fais le développement limité de $e^{\ln (x)(-\tfrac{x}{2})}$.
    Merci !
  • Modifié (18 Sep)
    Avec uniquement les équivalents ca marche il me semble  (en supposant connue la limite en 0 de (ln(1+x)-x)/x²) 
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je suis Jack 
  • Utiliser un équivalent puis un DL me semble bien périlleux !
  • Si tu veux absolument des équivalents il faut le faire via $e^u-1$ avec $u$ tendant vers 0. 
    Tu factorise $x$ pour obtenir une telle forme .
    $u=\frac{\ln x}x[\ln(1+x)-x]$. Le crochet étant un $O(x^2)$, $u$ tend vers 0 en 0. Du coup ta fonction 
    $$\sim x\: u(x)=\ln x[\ln(1+x)-x]\sim\ln x[-\frac12 x^2]$$
  • C'est quand même bien plus simple en ayant remarqué que $(1+x)^{\frac{\ln(x)}{x}}=x^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$.
    \[\begin{align}(1+x)^{\frac{\ln(x)}{x}}-x &= x\times \left(\exp\left(\ln(x)\left(\frac{\ln(1+x)}{x}-1\right)\right)-1\right) \\ &\sim x\times \ln(x)\left(\frac{\ln(1+x)}{x}-1\right) \\ &= \ln(x)\times \left(\ln(1+x)-x\right) \\ &\sim \ln(x) \times\left(-\frac{x^2}{2}\right)\end{align}\]
  • Merci !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!