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Permuter intégrale-série

Modifié (18 Sep) dans Analyse
Bonjour. Supposons que   $\mu<0$.  Soit $L^\alpha_n(x)$ le polynôme de Laguerre de type $n$ soit $f\in L^2(\Bbb C)$.
Comment on peut montrer que $$\sum^\infty_{k=0}\int_{\Bbb C} f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz= \int_{\Bbb C} \sum^\infty_{k=0}f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz,$$ avec $dz$  la mesure de Lebesgue.  Rappelons que  $\int^{+\infty}_{0}  |  L^{\alpha}_{k}(t) |^{2}t^{\alpha}e^{-t}dt=\frac{\Gamma(\alpha+k+1)}{\Gamma(k+1)}$,
Merci beaucoup.

Réponses

  • Modifié (18 Sep)
    Tu ne peux pas car ce truc $\sum^\infty_{k=0}f(w)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}$  diverge.
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    Citation :  Je préfère une solution qui se construit au fur et à mesure des échanges que de m'envoyer  consulter une solution détaillée via un lien
  • Mais il y a aussi une $L^0_k$.
  • désolé je suis  aveugle et ce f(w) , le w dépend de quoi au juste 
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  • Ah oui w c'est z. Merci 
  • Pourquoi la série 
    $$ \sum^\infty_{k=0}\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)$$ converge
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  • L'égalité demandée est vrai au sens des distributions pour f à support compact. La somme converge au sens des distributions. Je pense par densité on peut l'étendre sur $L^2$
  • Bonjour @gebrane voir le PDF attaché (relation 12). La série converge mais dans quel sens
  • Modifié (20 Sep)
    Sur Wiki    https://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials    j'ai trouvé cette fonction génératrice 
    $$(*)\qquad \sum_{n\geq 0} t^nL_n(x) =\frac 1{1-t}e^{-\tfrac {tx}{1-t}}$$ Elle  permet de comprendre  ta série $\sum_{n\geq 0} \frac{L_n(x)}{n+a}$
    (tu multiplies (*) par $t^{a-1}$ et tu intègres en 0 et 1 en t).
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  • Mais la nouvelle série pourquoi elle converge.
  • Ecris l'intégrale obtenue 
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  • Modifié (21 Sep)
    Donc on obtient:  $\sum^\infty_{n=0} t^{n+a-1}L_n(x) = (1-t)^{-1}t^{a-1} \exp(-\frac{tx}{1-t})$
    En intégrant on obtient le résultat désiré. Le membre qui est à droite est effectivement une représentation intégrale de la fonction $\Gamma(a)G(a,1,x)$ qui est dans $L^2(\R)$.
    Il faut des justufcations pour permuter intégrale et somme.
  • Modifié (21 Sep)
    On a une convergence simple en utilisant le résultat en bas pour $n$ assez grand.
    On a aussi $$\Gamma(a)\psi\left(  a,c,x\right)= e^x \int^1_0 \exp(-{x\over 1-t}) t^{a-1}(1-t)^{c-1}\in L^2(\Bbb R)  $$

  • Modifié (21 Sep)
    Ne raconte pas des trucs que tu ne comprends pas . Tu tombes sur l'intégrale $\int^1_0 \exp(-{xt\over 1-t}) t^{a-1}(1-t)^{-1}dt$

    C'est une intégrale généralisée, pourquoi elle converge ? ( je précise $\forall x\ne 0,\,  \forall a>0$)
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  • Au voisinage de 1 converge et au voisinage de 0 converge si et seulement si a>0.
  • ok et tu n'as plus besoin de personne pour permuter série et intégrale
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  • Si, comment on permute
  • $\int \sum = \sum \int$
  • Tu es méchant @JLapin  ;)

    floyd mayweather   tu connais quoi comme théorème qui permet de permuter les deux trucs  ?
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  • Théorème de Tonelli pour les séries, convergence dominée, convergence uniforme, ils ne fonctionnent pas.
    Jlapin, si tu es capable montrer nous
  • Modifié (23 Sep)
    Ne sous-estime pas Jlapin. Ce que tu ne comprends pas, c'est du niveau L1 L2. Je t'explique pour en finir.
    Pour permuter ta série $\sum^\infty_{n=0} t^{n+a-1}L_n(x)$, $x,a >0$ et ton intégrale il suffit https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'interversion_série-intégrale de montrer que la série du terme général
    $$\int_0^1 |t^{n+a-1}L_n(x)| dt$$ est convergente, on a 
    $\int_0^1 |t^{n+a-1}L_n(x)| dt=|L_n(x)|\int_0^1 t^{n+a-1} dt=\frac{|L_n(x)|}{n+a}$. J'espère que tu sais https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2382853/#Comment_2382853  que pour $x>0$, $|L_n(x)|\sim \frac c{n^{\frac 14}}$, $c>$0, donc la série $\sum^\infty_{n=0}\frac{|L_n(x)|}{n+a}$ est convergente (équivalente à une série de Riemann convergente).
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  • Modifié (23 Sep)
    Mais nous on veut  $\sum^\infty_{k=0}\int_{\Bbb C} f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz=\int_{\Bbb C} \sum^\infty_{k=0}f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz$
  • Modifié (23 Sep)
     Je t'ai expliqué la situation.
    Donc on obtient:  BlaBlaBla...
    Il faut des justufcations  pour permuter intégrale et somme.
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