C'est plié !

Ludwig

Bonsoir,
$ABCD$ est un carré de côté $1$.
Si $M$ appartient à une zone n°6 (voir figure de droite), les médiatrices de $[MA]$, $[MB]$, $[MC]$ et $[MD]$ forment, avec les côtés du carré, un hexagone (si $M$ est dans une zone n°5 on obtient un pentagone).
À un point $M$ du carré j'associe l'aire $\mathcal{A}$ du polygone obtenu.
Déterminer les lignes de niveau de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi définie (à valeurs dans l'intervalle $[1/4,1/2]$), c'est-à-dire le lieu des points $M$ tels que $\mathcal{A}(M)=a$, pour $1/4 \leq a \leq 1/2$. 


J'ai tracé approximativement la partie située dans une zone n°6 de deux de ces lignes de niveau en orange.
La figure provient du dernier numéro de la revue Tangente, qui consacre un dossier à la géométrie de l'origami.

Ludwig

Les calculs sont élémentaires mais un peu longs, il vaut mieux utiliser un logiciel. Je les ai fait dans le cas où $M(x,y)$ est dans la zone n°6 ci-dessus. On écrit les équations des médiatrices et on cherche les coordonnées des sommets de l'hexagone $H_1H_2H_3H_4H_5H_6$ (des points d'intersection de ces droites avec les côtés ou entre elles). Son aire $\mathcal{A}$ est égale à la somme des aires des triangles $MH_iH_{i+1}$ (on pose $H_7=H_1$).

Pour calculer l'aire d'un tel triangle on peut utiliser la formule $base \times hauteur/2$. Si son utilisation oblige à calculer la hauteur on prend la méthode avec un déterminant. Au bout du compte on trouve que l'aire hexagonale est égale à :
$$\frac{x^{5} - x^{4} y + 2 x^{3} y^{2} - 2 x^{3} - 2 x^{2} y^{3} + 4 x^{2} y^{2} - 3 x^{2}  y + x^{2} + x  y^{4} - 5 x  y^{2} + 4 x  y - y^{5} + 4  y^{4} - 6 y^{3} + 4 y^{2} - y}{8 y \left(y - 1 \right)  x  \left(x - 1 \right)},$$ ce qui permet de tracer les lignes de niveau en tant que courbes implicites.

Mais on peut faire beaucoup mieux. On fait le changement de variable $y=x+t$ pour obtenir:
$-t^{5} - 4 \; t \; x^{4} - 8 \; t^{2} \; x^{3} - 8 \; t^{3} \; x^{2} - 4 \; t^{4} \; x - 8 \; a \; x \; \left(t + x \right) \; \left(x - 1 \right) \; \left(t + x - 1 \right) + 4 \; t^{4} + 8 \; x^{4} + 24 \; t \; x^{3} + 28 \; t^{2} \; x^{2} + 16 \; t^{3} \; x - 6 \; t^{3} - 16 \; x^{3} - 31 \; t \; x^{2} - 23 \; t^{2} \; x + 4 \; t^{2} + 9 \; x^{2} + 12 \; t \; x - t - x = 0, $où $a$ désigne l'aire à atteindre.

Il se trouve que cette équation de degré $4$ peut se ramener à une équation bicarrée, ce qui veut dire que ces lignes de niveau sont constructibles point par point à la règle et au compas 
En effet, en posant $x=y-q/4q$, où $p=-8 a - 4 t + 8$ est le coefficient de $x^4$ dans cette dernière équation et $q=-8  t^{2} - 16 at + 16 a + 24t - 16$ celui de $x^3$, on arrive à : $$ 2  t^{4} + t^{3} + 4  a  t^{2} - 3  t^{2} - 2  a+ 1-t^{5} - 2 a  t^{4} + y^{2} \left(-8  t^{3} + 16  a  t^{2} + 16 t^{2} + 16 a - 4 t - 12 \right) + y^{4} \left(-32  a - 16 t + 32 \right) = 0.$$ Bon dimanche, Ludwig

EDIT : $q/4p$ se simplifie : $q/p=2t-2$.

Ludwig

Petite question : j'ai tracé les courbes de niveau $\mathcal{A}(M)=a$, pour $1/4 \leq a \leq 1/2$ (animation ci-dessous). On voit qu'en général la courbe est en deux morceaux, mais que ces deux morceaux tendent à faire une sorte d'oeuf (avec une autre courbe) lorsque $a$ est proche de $0,41$ (voir figure sous l'animation). Comment détermine-t-on la valeur de $a$ pour obtenir exactement cet oeuf ?


Voici l'équation de la courbe :$$\frac{x^{5} - x^{4} y + 2 x^{3}y^{2} - 2 x^{3} - 2x^{2}  y^{3} + 4 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y + x^{2} + x y^{4} - 5 x y^{2} + 4 x y - y^{5} + 4y^{4} - 6 y^{3} + 4 y^{2} - y}{8 y\left(y - 1 \right) x \left(x - 1 \right)}=a.$$


Bonne fin de soirée, Ludwig

Ludwig

J'ai finalement pu trouvé cette fichue valeur du paramètre $a$ qui permet d'obtenir l'oeuf. Lorsqu'on cherche les intersections d'une courbe de niveau (voir le message ci-dessus pour son équation générale) avec les droites d'équation $y=x+t$ on tombe sur une équation de degré $4$ qui se ramène à une bicarrée. Notons $x_1$, $x_2$, $x_3$ et $x_4$ ses racines. Si $a$ est la valeur qui donne l'oeuf et si la droite est celle en orange alors $x_1=x_2$ et $x_3=x_4$, ce qui correspond à la nullité d'un discriminant : $$\Delta = -32 a t^{5} + 64 a  t^{4} + 8  t^{4} + 64  a^{2} t^{2} - 16 t^{3} - 48 a t^{2} + t^{2} - 16 a  t + 10  t + 1.$$


En remarquant que la droite d'équation $x+y=1$ est un axe de symétrie des courbes de niveau (*) on peut d'une part améliorer le rendu de la figure en traçant des graphes de fonction tournés de $45°$ autour de $O$. Et d'autre part se rendre compte que l'image de la droite orange par cette rotation est la droite $x=1/2$. Ce qui permet de déterminer la valeur du paramètre $t$ de la droite orange : $t= \frac{1}{2} \left(\sqrt{2} - 2 \right).$ Et alors l'équation $\Delta = 0$ permet de calculer la valeur de $a$ recherchée : $$a=\frac{1}{16}  \left(13  \sqrt{2} - 8  \sqrt{3} + 9 \sqrt{6} - 20 \right).$$ J'ai mon oeuf au plat je peux prendre mon petit-déjeuner.

(*) Il aurait mieux valu prendre le carré formé des points $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ et $(0,-1)$, cela aurait simplifié les calculs..