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Une limite (géométrie du plan)

Modifié (17 Sep) dans Géométrie
Bonjour
Je donne la solution mais ce qui peut intéresser c'est de savoir comment la trouver.
Soit $ABC$ un triangle non plat
$A^{\prime }$ le milieu du segment $\left[BC\right]$
$B^{\prime }$ le milieu du segment $\left[CA\right]$
$C^{\prime }$ le milieu du segment $\left[AB\right]$
$G$ le centre de gravité du triangle $ABC$
Pour un point $P$ fixé sur le cercle de centre $G$ et de rayon l'unité
on va considérer l'application $f$ qui à tout nombre réel strictement positif $x>0$ fait correspondre le point 
$P_x=f\left(x\right)=G+x.\vec {GP}$
Déterminer la limite
$t=\underset {x\rightarrow 0^+}{\text {lim}}  \dfrac {3.GP_x-AP_x-BP_x-CP_x+2.A^{\prime }P_x+2.B^{\prime }P_x+2.C^{\prime }P_x}{GP_x}$
Solution.
On va noter par $\left(i:j:k\right)$ les coordonnées barycentriques normalisées par rapport à $\left(ABC\right)$ du point $C+\vec {GP}$
Je précise donc $i+j+k=1$ car ces coordonnées sont normalisées
On va poser:
$a=BC,b=CA,c=AB$
$u=\sqrt {2b^2+2c^2-a^2},v=\sqrt {2c^2+2a^2-b^2},w=\sqrt {2a^2+2b^2-c^2}$ 
$p=\dfrac {b^2.\left(j+3k-3\right)+c^2.\left(3j+k-1\right)-a^2.\left(j+k-1\right)}{u}$
$q=\dfrac {c^2.\left(k-1+3i\right)+a^2.\left(3k-3+i\right)-b^2.\left(k-1+i\right)}{v}$
$r=\dfrac {a^2.\left(i+3j\right)+b^2.\left(3i+j\right)-c^2.\left(i+j\right)}{w}$
Alors $t=3-\dfrac {3\left(p+q+r\right)}{2}$

Réponses

  • J'ai corrigé un oubli et deux coquilles (copié collé malheureux d'une fraction) 

    1.évidemment il s'agissait de coordonnées barycentriques normalisées par rapport à $\left(ABC\right)$
    2.le dénominateur de la fraction donnant $q$ est $v$
    3.le dénominateur de la fraction donnant $r$ est $w$
  • Modifié (17 Sep)
    Bonjour
    Je ne comprends pas:  $P_x$  est une translation,  $G$ est un point, mais alors   que signifie par exemple $GP_x$ ? 
  • $GP_x$ signifie la distance entre ces deux points $G$ et $P_x$

    tout comme $a=BC$ signifie que $a$ vaut la distance entre $B$ et $C$
  • $G$ est un point  (c'est le centre de gravité du triangle)
    $P_x$ est un point défini par la translation $P_x=G+x.\vec {GP}$ 
    $GP_x$ distance entre le point $G$ et le point $P_x$
  • Modifié (17 Sep)
    Ce n'est pas facile à savoir où tu veux en venir. Mais avant tout, ton vocabulaire est bizarre. Une translation c'est une transformation du plan  et $P_x$  est un point. 
    Ensuite ton résultat est peut être bon mais l'expression  ne parait pas simple, il ne représente rien de visible. 
    Sinon  le calcul est aisé car par exemple $\vec{A Px} =G-A + x (P -G)$  et donc  $APx = GA + x \dfrac{<G-A, P - G >}{GA} +o (x)$
    On  applique donc cette formule  pour chaque distance qui intervient dans l'expression, évidemment le premier terme disparait  et il suffit de garder le terme en x du numérateur et celui du dénominateur. Il faut à mon avis tout exprimer en fonction de A,B, C  et on aura une écriture simplifié autant que possible et cyclique par rapport à $A, B,C$. (On tiendra compte du fait qu'on sait où est placé le centre de gravité pour chaque médiane.  ) 
    Mais  la vraie question est:  quel est l'intérêt d'un tel exercice? ...     
  • C'est un abus de langage que je me suis permis mais on a compris comment est calculé $P_x$
    puisque $P_x=G+x.\vec {GP}$ est dit dans l'énoncé 

    Ensuite je ne comprends pas ce que signifie l'intérêt : pardon mais si on n'est pas intéressé on ne vient pas non?

    Enfin tu dis que le calcul est aisé mais dans ce cas pourquoi dis-tu "peut être que mon résultat est bon"
    mais je ne vois pas ton résultat (par contre le miens il est donné) 

    Bref  j'attends que tu donnes ton résultat pour cette limite et qu'on voit si ce résultat est le même que le miens ou pas 
  • Un peu de bon sens tout de même. Si tu poses un exercice de géométrie et que l'on ne voit pas l'intérêt, c'est assez normal que tu expliques où est l'intérêt.
    A priori, j'avais pensé que derrière le calcul à la limite il y a quelque chose d'intéressant. C'est pour cela que j'ai regardé l'exercice. Mais   je n'y vois rien. Pas de problème je quitte le sujet et tu trouveras surement quelqu'un de plus qualifié pour s'y intéresser.
  • ah bon ... mais je ne suis pas vendeur de tapis 

    Proposition (mais c'est pas certain que ça me fasse vendre un "tapis") 
    $ABC$ un triangle non plat
    $G$ le centre de gravité de $ABC$ 
    Soient $O$ un point et $d$ une droite
    On considère l'inversion de pôle $O$ et de puissance $p$ des points de la droite $d$  
    $p$ est la limite définie selon $P=M+\vec {OG}$ avec les points $M$ de la droite $d$
    Les coordonnées barycentriques normalisées $\left(i;j;k\right)$ de la formule qui donne le résultat de cette limite
    sont celles des points $C+\vec {OM}$

  • Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.
    Que signifie ce galimatias?
    C'est une mauvaise blague ou non?
    Amicalement
    pappus
  • À part l'abus de langage  je ne vois pas de galimatias
    Je viens de l'enlever de l'énoncé

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